13-(EUF-2005) A partir das equações de Maxwell no vácuo:
a) Obtenha a equação de onda para o campo elétrico
Suponha duas ondas eletromagnéticas planas, distintas, propagando-se na mesma direção e sentido
em um meio dielétrico com índice de refração
, com mesmas frequências
e vetor d eonda
, que possuem os respectivos campos elétricos dados por
e
, onde
e
são versores perpendiculares ao vetor de onda
.
b) Discuta o estado de polarização de cada uma das ondas em função dos possíveis valores da constante de fase
.
c) Calcule o campo magnético
e a média temporal do vetor de Poynting,
, da onda resultante,
a) Obtenha a equação de onda para o campo elétrico
b) Discuta o estado de polarização de cada uma das ondas em função dos possíveis valores da constante de fase
c) Calcule o campo magnético
Passo 1
O enunciado pede três coisas bem definidas e fornece informações que vou listar para não perdemos o rumo:
-
Perguntas:
- (a) Obter a equação de onda para o campo elétrico a partir das equações de Maxwell no vácuo.
- (b) Discutir o estado de polarização das duas ondas dadas em função dos possíveis valores de
. - (c) Calcular o campo magnético
da onda resultante e a média temporal do vetor de Poynting .
-
Informações dadas:
- As equações de Maxwell no vácuo serão usadas (assumo as formas diferenciais usuais).
- Duas ondas planas propagando na mesma direção e sentido
num meio dielétrico com índice de refração , mesmas frequência e mesmo vetor de onda . - Campos elétricos (fornecidos no enunciado):
onde \(\widehat{p}\) e \(\widehat{s}\) são versores perpendiculares a \(\vec{k}\) (ou seja, são direções de polarização transversais).
- O meio é dielétrico com índice
; assumiremos que é não magnético ( ).
A partir daqui começa a resolução passo a passo.
Passo 2
(a) Relembrando as equações de Maxwell no vácuo (formas diferenciais, em unidades SI):
Vou usar essas fórmulas para obter a equação de onda para
. A ideia padrão é aplicar o operador rotacional em
e usar a identidade vetorial
Explico:
é o laplaciano vetorial aplicado componente a componente; essa identidade permite trocar um duplo rotacional por termos que envolvem divergência e laplaciano.
Passo 3
Continuando a derivação (passo a passo das operações):
- Tomamos o rotacional de
:
- Substituímos
pela equação de Maxwell correspondente:
- Pelo lado esquerdo usamos a identidade vetorial mencionada:
- No vácuo
(uma das equações de Maxwell acima), logo o termo desaparece. Resta:
- Multiplicando por
obtemos a equação de onda desejada:
Passo 4
(b) Primeiro, considerar cada onda isoladamente:
-
: é uma onda plana com polarização linear fixa ao longo de . Em qualquer ponto do espaço a direção do campo elétrico é sempre (a fase muda, mas a direção é constante) — portanto polarização linear. -
: análogo, polarização linear ao longo de .
Ou seja, separadamente cada onda é linearmente polarizada (uma em
, outra em
).
Passo 5
(b) Agora o caso combinado (superposição). A soma complexa das amplitudes (phasors) é
Ao tomar a parte real para obter o campo físico, podemos escrever os componentes (num referencial com eixos
e
) definindo
:
Essas duas componentes, em geral, descrevem uma elipse no plano transverse quando desenhamos
vs
ao longo do tempo. Posso obter a equação da elipse eliminando
. Colocando
e
e dividindo por
respectivamente, obtém-se a relação clássica:
Esta é a equação do arco/ elipse de polarização geral (se
e
genéricos).
Passo 6
(b) Interpretação dos casos especiais (muito importantes na prova — decore-os com entendimento):
-
: então e a equação reduz para o que implica: as duas componentes oscilam em fase -> polarização linear constante. A direção da polarização é um ângulo tal que no plano . -
: novamente , e obtemos polarização linear também, mas com uma diferença de fase de (componentes em oposição de fase) — ainda linear, com direção tal que . -
e : então e , a equação torna-se que é um círculo: polarização circular. O sinal de(positivo ou negativo) determina o sentido de rotação do campo elétrico (mão direita ou esquerda) ao longo do tempo — ou seja, direita vs esquerda circular depende do sinal de e da convenção do triê direito . -
Caso geral: se
for diferente de ou as amplitudes não iguais, a polarização resultante é elíptica (a elipse é degenerada em caso especial para linear ou circular).
Resumo prático para a prova: as duas ondas isoladas são linearmente polarizadas; a superposição dá linear se
ou
, circular se
e amplitudes iguais, e elíptica em geral.
Passo 7
(c) Cálculo do campo magnético
.
Para uma onda plana harmônica em meio isotrópico sem perdas e não magnético (
), a relação entre as amplitudes complexas (phasors) é, a partir de
e da forma
,
Como
com
(no meio com índice
), isso dá
(Expliquei: usei
e troquei
por
.)
Aplicando isso à onda total
, o campo magnético total em forma complexa é
Tomando parte real, obtemos o
físico. Se preferir componente a componente, para cada onda isolada:
e a soma dá
.
Passo 8
(c) Cálculo da média temporal do vetor de Poynting
.
Definição: o vetor de Poynting instantâneo é
. Para campos harmônicos é muito prático usar as amplitudes complexas e a fórmula da média temporal (sobre um período):
onde
e
são os phasors (amplitudes complexas, sem o fator temporal
) e o asterisco denota conjugado complexo.
Já temos
. Substituindo:
Usando a identidade vetorial
com
, e lembrando que
(campo elétrico é transversal), obtemos:
Aqui
é a soma das intensidades das componentes (os termos cruzados entre
e
somam zero porque
). Para o nosso caso:
Logo
Observação física importante (para a prova): apesar de existir uma diferença de fase
entre as componentes, a média temporal da densidade de fluxo de energia (vetor de Poynting) é simplesmente a soma das intensidades das duas componentes quando estas são ortogonais. Em particular não há termo de interferência dependente de
porque
(produto escalar nulo).
Passo 9
Interpretando e finalizando as expressões de forma prática:
- A equação de onda obtida em (a) confirma que perturbações eletromagnéticas se propagam com velocidade
no vácuo. - Em (b) identifiquei claramente os casos limites (linear, elíptica, circular) e dei a equação da elipse para o caso geral; memorize os casos
(linear) e com amplitudes iguais (circular). - Em (c) a relação entre
e para ondas planas em meio dielétrico é simplesmente e a média temporal do vetor de Poynting da onda resultante é
Esses são os resultados práticos e compactos que normalmente caem em prova.
Resposta
(a)
(b) Individualmente
e
são linearmente polarizadas em
e
, respectivamente. A superposição dá:
-
ou : polarização linear (direção ou ); -
e : polarização circular (sentido determinado pelo sinal de ); - caso geral: polarização elíptica, com equação da elipse
(c)
(valendo linearidade para a soma das ondas), e