13-(EUF-2005) A partir das equações de Maxwell no vácuo:
a) Obtenha a equação de onda para o campo elétrico
\vec{\nabla}^{2} \vec{E}-\mu_{o} \varepsilon_{o} \frac{\partial^{2} \vec{E}}{\partial t^{2}}=0
Suponha duas ondas eletromagnéticas planas, distintas, propagando-se na mesma direção e sentido \widehat{k} em um meio dielétrico com índice de refração n, com mesmas frequências w e vetor d eonda \vec{k}, que possuem os respectivos campos elétricos dados por \vec{E}_{1}(\vec{r}, t)=E_{o 1} e^{i(\vec{k} . . \vec{r}-w t)} \widehat{p} e \vec{E}_{2}(\vec{r}, t)= \left.E_{o 2} e^{i(\vec{k} . .} \vec{r}-w t+\varphi\right) \widehat{s}, onde \widehat{p} e \widehat{s} são versores perpendiculares ao vetor de onda \vec{k}.
b) Discuta o estado de polarização de cada uma das ondas em função dos possíveis valores da constante de fase \varphi.
c) Calcule o campo magnético \vec{B} e a média temporal do vetor de Poynting, \langle\vec{S}\rangle, da onda resultante,

Passo 1

O enunciado pede três coisas bem definidas e fornece informações que vou listar para não perdemos o rumo:
  • Perguntas:
    1. (a) Obter a equação de onda para o campo elétrico a partir das equações de Maxwell no vácuo.
    2. (b) Discutir o estado de polarização das duas ondas dadas em função dos possíveis valores de \varphi.
    3. (c) Calcular o campo magnético \vec{B} da onda resultante e a média temporal do vetor de Poynting \langle\vec{S}\rangle.
  • Informações dadas:
    • As equações de Maxwell no vácuo serão usadas (assumo as formas diferenciais usuais).
    • Duas ondas planas propagando na mesma direção e sentido \widehat{k} num meio dielétrico com índice de refração n, mesmas frequência \omega e mesmo vetor de onda \vec{k}.
    • Campos elétricos (fornecidos no enunciado): \vec{E}_1(\vec{r},t)=E_{01} e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)}\widehat{p},
\vec{E}_2(\vec{r},t)=E_{02} e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t+\varphi)}\widehat{s},
onde \(\widehat{p}\) e \(\widehat{s}\) são versores perpendiculares a \(\vec{k}\) (ou seja, são direções de polarização transversais).
  • O meio é dielétrico com índice n; assumiremos que é não magnético ( \mu=\mu_0).
A partir daqui começa a resolução passo a passo.

Passo 2

(a) Relembrando as equações de Maxwell no vácuo (formas diferenciais, em unidades SI):
\nabla\cdot\vec{E}=0,
\nabla\cdot\vec{B}=0,
\nabla\times\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t},
\nabla\times\vec{B}=\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}.
Vou usar essas fórmulas para obter a equação de onda para \vec{E}. A ideia padrão é aplicar o operador rotacional em \nabla\times\vec{E} e usar a identidade vetorial
\nabla\times(\nabla\times\vec{E})=\nabla(\nabla\cdot\vec{E})-\nabla^{2}\vec{E}.
Explico: \nabla^2 é o laplaciano vetorial aplicado componente a componente; essa identidade permite trocar um duplo rotacional por termos que envolvem divergência e laplaciano.

Passo 3

Continuando a derivação (passo a passo das operações):
  1. Tomamos o rotacional de \nabla\times\vec{E}=-\dfrac{\partial\vec{B}}{\partial t}:
\nabla\times(\nabla\times\vec{E})=-\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times\vec{B}).
  1. Substituímos \nabla\times\vec{B} pela equação de Maxwell correspondente:
-\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times\vec{B})=-\frac{\partial}{\partial t}\!\left(\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}\right)=-\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^{2}\vec{E}}{\partial t^{2}}.
  1. Pelo lado esquerdo usamos a identidade vetorial mencionada:
\nabla(\nabla\cdot\vec{E})-\nabla^{2}\vec{E}=-\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^{2}\vec{E}}{\partial t^{2}}.
  1. No vácuo \nabla\cdot\vec{E}=0 (uma das equações de Maxwell acima), logo o termo \nabla(\nabla\cdot\vec{E}) desaparece. Resta:
-\nabla^{2}\vec{E}=-\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^{2}\vec{E}}{\partial t^{2}}.
  1. Multiplicando por -1 obtemos a equação de onda desejada:
\nabla^{2}\vec{E}-\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^{2}\vec{E}}{\partial t^{2}}=0.

Passo 4

(b) Primeiro, considerar cada onda isoladamente:
  • \vec{E}_1(\vec{r},t)=E_{01} e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)}\widehat{p}: é uma onda plana com polarização linear fixa ao longo de \widehat{p}. Em qualquer ponto do espaço a direção do campo elétrico é sempre \widehat{p} (a fase muda, mas a direção é constante) — portanto polarização linear.
  • \vec{E}_2(\vec{r},t)=E_{02} e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t+\varphi)}\widehat{s}: análogo, polarização linear ao longo de \widehat{s}.
Ou seja, separadamente cada onda é linearmente polarizada (uma em \widehat{p}, outra em \widehat{s}).

Passo 5

(b) Agora o caso combinado (superposição). A soma complexa das amplitudes (phasors) é
\tilde{\vec{E}}(\vec{r})=\Big(E_{01}\widehat{p}+E_{02}e^{i\varphi}\widehat{s}\Big)e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)}.
Ao tomar a parte real para obter o campo físico, podemos escrever os componentes (num referencial com eixos \widehat{p} e \widehat{s}) definindo \psi=\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t:
E_{p}(t)=E_{01}\cos\psi,\qquad E_{s}(t)=E_{02}\cos(\psi+\varphi).
Essas duas componentes, em geral, descrevem uma elipse no plano transverse quando desenhamos E_{s} vs E_{p} ao longo do tempo. Posso obter a equação da elipse eliminando \psi. Colocando X=E_{p} e Y=E_{s} e dividindo por E_{01},E_{02} respectivamente, obtém-se a relação clássica:
\left(\frac{X}{E_{01}}\right)^{2}+\left(\frac{Y}{E_{02}}\right)^{2}-2\cos\varphi\,\frac{XY}{E_{01}E_{02}}=\sin^{2}\varphi.
Esta é a equação do arco/ elipse de polarização geral (se \varphi e E_{01},E_{02} genéricos).

Passo 6

(b) Interpretação dos casos especiais (muito importantes na prova — decore-os com entendimento):
  • \varphi=0: então \sin\varphi=0 e a equação reduz para
    \left(\frac{X}{E_{01}}-\frac{Y}{E_{02}}\right)^{2}=0,
    o que implica X/E_{01}=Y/E_{02}: as duas componentes oscilam em fase -> polarização linear constante. A direção da polarização é um ângulo \theta tal que \tan\theta=E_{02}/E_{01} no plano (\widehat{p},\widehat{s}).
  • \varphi=\pi: novamente \sin\varphi=0, e obtemos polarização linear também, mas com uma diferença de fase de \pi (componentes em oposição de fase) — ainda linear, com direção \theta tal que \tan\theta=-E_{02}/E_{01}.
  • \varphi=\pm\pi/2 e E_{01}=E_{02}: então \cos\varphi=0 e \sin^{2}\varphi=1, a equação torna-se
    \left(\frac{X}{E_0}\right)^2+\left(\frac{Y}{E_0}\right)^2=1,
    que é um círculo: polarização circular. O sinal de \varphi (positivo ou negativo) determina o sentido de rotação do campo elétrico (mão direita ou esquerda) ao longo do tempo — ou seja, direita vs esquerda circular depende do sinal de \varphi e da convenção do triê direito (\widehat{p},\widehat{s},\widehat{k}).
  • Caso geral: se \varphi for diferente de 0,\pi,\pm\pi/2 ou as amplitudes não iguais, a polarização resultante é elíptica (a elipse é degenerada em caso especial para linear ou circular).
Resumo prático para a prova: as duas ondas isoladas são linearmente polarizadas; a superposição dá linear se \varphi=0 ou \pi, circular se \varphi=\pm\pi/2 e amplitudes iguais, e elíptica em geral.

Passo 7

(c) Cálculo do campo magnético \vec{B}.
Para uma onda plana harmônica em meio isotrópico sem perdas e não magnético ( \mu=\mu_0), a relação entre as amplitudes complexas (phasors) é, a partir de \nabla\times\vec{E}=-\partial\vec{B}/\partial t e da forma e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)},
\tilde{\vec{B}}=\frac{\vec{k}\times\tilde{\vec{E}}}{\omega}.
Como \vec{k}=k\widehat{k} com k=\dfrac{n\omega}{c} (no meio com índice n), isso dá
\tilde{\vec{B}}=\frac{n}{c}\,\widehat{k}\times\tilde{\vec{E}}.
(Expliquei: usei \vec{k}\times\tilde{\vec{E}}/\omega e troquei k/\omega por n/c.)
Aplicando isso à onda total \tilde{\vec{E}}=\left(E_{01}\widehat{p}+E_{02}e^{i\varphi}\widehat{s}\right)e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)}, o campo magnético total em forma complexa é
\tilde{\vec{B}}(\vec{r},t)=\frac{n}{c}\,\widehat{k}\times\Big(E_{01}\widehat{p}+E_{02}e^{i\varphi}\widehat{s}\Big)\,e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)}.
Tomando parte real, obtemos o \vec{B}(\vec{r},t) físico. Se preferir componente a componente, para cada onda isolada:
\vec{B}_1=\frac{n}{c}\,\widehat{k}\times\left(E_{01} e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)}\widehat{p}\right), \qquad \vec{B}_2=\frac{n}{c}\,\widehat{k}\times\left(E_{02} e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t+\varphi)}\widehat{s}\right),
e a soma dá \vec{B}=\vec{B}_1+\vec{B}_2.

Passo 8

(c) Cálculo da média temporal do vetor de Poynting \langle\vec{S}\rangle.
Definição: o vetor de Poynting instantâneo é \vec{S}(t)=\dfrac{1}{\mu_0}\vec{E}(t)\times\vec{B}(t). Para campos harmônicos é muito prático usar as amplitudes complexas e a fórmula da média temporal (sobre um período):
\langle\vec{S}\rangle=\frac{1}{2\mu_0}\mathrm{Re}\{\tilde{\vec{E}}\times\tilde{\vec{B}}^{\,*}\},
onde \tilde{\vec{E}} e \tilde{\vec{B}} são os phasors (amplitudes complexas, sem o fator temporal e^{-i\omega t}) e o asterisco denota conjugado complexo.
Já temos \tilde{\vec{B}}=(n/c)\,\widehat{k}\times\tilde{\vec{E}}. Substituindo:
\tilde{\vec{E}}\times\tilde{\vec{B}}^{\,*}=\tilde{\vec{E}}\times\left(\frac{n}{c}\,\widehat{k}\times\tilde{\vec{E}}^{\,*}\right).
Usando a identidade vetorial \vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})=\vec{b}(\vec{a}\cdot\vec{c})-\vec{c}(\vec{a}\cdot\vec{b}) com \vec{a}=\tilde{\vec{E}},\\ \vec{b}=\widehat{k},\\ \vec{c}=\tilde{\vec{E}}^{\,*}, e lembrando que \widehat{k}\cdot\tilde{\vec{E}}=0 (campo elétrico é transversal), obtemos:
\tilde{\vec{E}}\times\tilde{\vec{B}}^{\,*}=\frac{n}{c}\,\widehat{k}\,(\tilde{\vec{E}}\cdot\tilde{\vec{E}}^{\,*}).
Aqui \tilde{\vec{E}}\cdot\tilde{\vec{E}}^{\,*}=|\tilde{\vec{E}}|^{2} é a soma das intensidades das componentes (os termos cruzados entre \widehat{p} e \widehat{s} somam zero porque \widehat{p}\cdot\widehat{s}=0). Para o nosso caso:
|\tilde{\vec{E}}|^{2}=E_{01}^{2}+E_{02}^{2}.
Logo
\langle\vec{S}\rangle=\frac{1}{2\mu_0}\mathrm{Re}\left\{\frac{n}{c}\widehat{k}(E_{01}^{2}+E_{02}^{2})\right\} =\frac{n}{2\mu_0 c}\,(E_{01}^{2}+E_{02}^{2})\,\widehat{k}.
Observação física importante (para a prova): apesar de existir uma diferença de fase \varphi entre as componentes, a média temporal da densidade de fluxo de energia (vetor de Poynting) é simplesmente a soma das intensidades das duas componentes quando estas são ortogonais. Em particular não há termo de interferência dependente de \varphi porque \widehat{p}\perp\widehat{s} (produto escalar nulo).

Passo 9

Interpretando e finalizando as expressões de forma prática:
  • A equação de onda obtida em (a) confirma que perturbações eletromagnéticas se propagam com velocidade 1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0} no vácuo.
  • Em (b) identifiquei claramente os casos limites (linear, elíptica, circular) e dei a equação da elipse para o caso geral; memorize os casos \varphi=0,\pi (linear) e \varphi=\pm\pi/2 com amplitudes iguais (circular).
  • Em (c) a relação entre \vec{B} e \vec{E} para ondas planas em meio dielétrico é simplesmente \vec{B}=\frac{\vec{k}\times\vec{E}}{\omega}=\frac{n}{c}\,\widehat{k}\times\vec{E},e a média temporal do vetor de Poynting da onda resultante é \langle\vec{S}\rangle=\frac{n}{2\mu_0 c}\,(E_{01}^{2}+E_{02}^{2})\,\widehat{k}.
Esses são os resultados práticos e compactos que normalmente caem em prova.

Resposta

(a) \nabla^{2}\vec{E}-\mu_{0}\varepsilon_{0}\dfrac{\partial^{2}\vec{E}}{\partial t^{2}}=0
(b) Individualmente \vec{E}_1 e \vec{E}_2 são linearmente polarizadas em \widehat{p} e \widehat{s}, respectivamente. A superposição dá:
  • \varphi=0 ou \varphi=\pi: polarização linear (direção \tan\theta=E_{02}/E_{01} ou \tan\theta=-E_{02}/E_{01});
  • \varphi=\pm\pi/2 e E_{01}=E_{02}: polarização circular (sentido determinado pelo sinal de \varphi);
  • caso geral: polarização elíptica, com equação da elipse \left(\frac{E_{p}}{E_{01}}\right)^{2}+\left(\frac{E_{s}}{E_{02}}\right)^{2}-2\cos\varphi\,\frac{E_{p}E_{s}}{E_{01}E_{02}}=\sin^{2}\varphi.
(c) \vec{B}=\dfrac{\vec{k}\times\vec{E}}{\omega}=\dfrac{n}{c}\,\widehat{k}\times\vec{E} (valendo linearidade para a soma das ondas), e
\langle\vec{S}\rangle=\frac{n}{2\mu_0 c}\,(E_{01}^{2}+E_{02}^{2})\,\widehat{k}.

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