16-(EUF-2015) Um meio condutor tem condutividade elétrica
, permeabilidade magnética
e permissividade relativa
. A equação de onda para o campo elétrico neste meio é dado por
onde
é a velocidade da luz no vácuo.
a) Mostre que a função de onda plana monocromática
é solução da equação
diferencial acima. Encontre a relação entre o número de onda complexo,
, e a frequência angular
, para que
seja solução. Mostre também que
se torna real no caso de um meio isolante perfeito.
b) Encontre a constante dielétrica complexa,
, usando a relação
. Verifique que a parte real de
é igual a
, como esperado, e explicite a parte imaginária de
.
c) Faça a aproximação para baixas frequência na expressão da constente dielétrica complexa do item (b) e calcule o índice de refração complexo
. Mostre que as partes real e imaginária de
são iguais neste caso.
d) A profundidade de atenuação da onda no meio condutor,
, é definido pelo inverso da parte imaginária do número de onda,
, ou seja,
. Lembre-se de que
e calcule o valor de
para a prata ( Ag ) na região de mcro-ondas (
), para a qual vale a aproximação do item (c). A condutividade da prata nesta faixa de frequência é
. Aproxime o resultado do cálculo e obtenha a ordem de grandeza de
.
a) Mostre que a função de onda plana monocromática
diferencial acima. Encontre a relação entre o número de onda complexo,
b) Encontre a constante dielétrica complexa,
c) Faça a aproximação para baixas frequência na expressão da constente dielétrica complexa do item (b) e calcule o índice de refração complexo
d) A profundidade de atenuação da onda no meio condutor,
Passo 1
O enunciado dá a equação de onda no meio condutor (com condutividade elétrica
, permeabilidade
e permissividade relativa
):
onde
.
O enunciado pede:
a) Verificar que a onda plana monocromática é solução e obter a relação entre o número de onda complexo
e a frequência angular
. Mostrar que
é real se o meio for isolante perfeito.
b) Achar a constante dielétrica complexa usando a relação
. Verificar que
e explicitar a parte imaginária.
c) Fazer a aproximação de baixa frequência para e calcular o índice de refração complexo
. Mostrar que, nessa aproximação, as partes real e imaginária de
são iguais.
d) Definindo a profundidade de atenuação (onde
é a parte imaginária de
), e usando
, calcular
para prata (
) em micro-ondas com
e
, usando a aproximação do item (c).
Já temos todos os dados necessários; a resolução começa agora.
O enunciado pede:
a) Verificar que a onda plana monocromática
b) Achar a constante dielétrica complexa
c) Fazer a aproximação de baixa frequência para
d) Definindo a profundidade de atenuação
Já temos todos os dados necessários; a resolução começa agora.
Passo 2
Vamos verificar que
é solução, calculando as derivadas que aparecem na equação de onda. Aqui
é constante (vetor) e
pode ser complexo.
Primeiro a laplaciana (a onda depende só de ):
Primeiro a laplaciana (a onda depende só de
Explicando: derivar
duas vezes em
traz um fator
duas vezes, ou seja
.
Agora as derivadas temporais:
Agora as derivadas temporais:
Explicando: derivar
em
traz
uma vez, e novamente traz
.
Passo 3
Substituímos tudo na equação de onda:
Fatorando
(não nula) e simplificando sinais, obtemos a relação escalar
Rearranjando,
Esta é a relação entre
e
. Para escrever
explicitamente:
Escolhe-se o sinal com a parte real positiva (propagação para
atenuada se houver perda).
Se o meio for isolante perfeito, , então
Se o meio for isolante perfeito,
que é real (assumindo
real e positiva). Logo
torna-se real em meio isolante perfeito — a onda propaga sem atenuação.
Passo 4
Definimos a constante dielétrica complexa
pela relação
Comparando com a relação do passo anterior, obtemos
Aqui cada termo significa:
-
é a parte real (a resposta dielétrica sem perdas), -
é a parte imaginária (representando a perda por condução).
Da expressão segue imediatamente que
A parte imaginária cresce com
e decresce com
: mais condutividade → mais perda; maior frequência → menor contribuição relativa da perda ao parâmetro dielétrico (até certo ponto).
Passo 5
Agora fazemos a aproximação de baixa frequência para um bom condutor. Em condutores bons e em frequências não muito altas geralmente vale
Então a constante dielétrica complexa fica, aproximando,
O índice complexo é
. Tomando a raiz quadrada de um número puramente imaginário: escrevemos
e
. Assim
Portanto as partes real e imaginária de
são iguais e valem
Interpretação prática: em bom condutor, a onda é fortemente atenuada e a fase e a decaída têm escalas comparáveis — daí as partes real e imaginária iguais.
Passo 6
Queremos a profundidade de atenuação
. Sabendo que
a parte imaginária é
. Usando
encontramos
Agora usamos
para simplificar:
Logo
Portanto a profundidade de penetração (skin depth) é
Esta é a fórmula padrão para a profundidade de penetração em um condutor na aproximação de boa condutividade.
Passo 7
Agora o cálculo numérico para prata (
) com
e
.
Primeiro a frequência angular:
Primeiro a frequência angular:
A constante
.
Calculamos o produto :
Calculamos o produto
Faço em etapas:
. Multiplicando por
dá
Dividindo por
e tirando raiz:
Finalmente
Portanto a ordem de grandeza é
(micrômetro), ou seja, penetração sub-micrométrica na prata a
.
Resposta
a)
. Para
temos
, que é real.
b) .
.
.
c) Em baixa frequência e
, portanto
.
d) . Para prata com
e
resulta
(ordem de
).
b)
c) Em baixa frequência
d)