16-(EUF-2015) Um meio condutor tem condutividade elétrica \sigma, permeabilidade magnética \mu_{o} e permissividade relativa \varepsilon_{r}=\varepsilon / \varepsilon_{o}. A equação de onda para o campo elétrico neste meio é dado por
\vec{\nabla}^{2} \vec{E}-\frac{\varepsilon_{r}^{2}}{c^{2}} \frac{\partial^{2} \vec{E}}{\partial t^{2}}-\frac{\sigma}{\varepsilon_{o}} \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}=0
onde c=1 / \sqrt{\mu_{o} \varepsilon_{o}} é a velocidade da luz no vácuo.
a) Mostre que a função de onda plana monocromática \vec{E}(z, t)=\vec{E}_{o} e^{i(k z-w t)} é solução da equação
diferencial acima. Encontre a relação entre o número de onda complexo, k, e a frequência angular w, para que \vec{E}(z, t) seja solução. Mostre também que k se torna real no caso de um meio isolante perfeito.
b) Encontre a constante dielétrica complexa, \widetilde{\varepsilon}_{r}, usando a relação k^{2}=\widetilde{\varepsilon}_{r} \frac{w^{2}}{c^{2}}. Verifique que a parte real de \widetilde{\varepsilon}_{r} é igual a \varepsilon_{r}, como esperado, e explicite a parte imaginária de \widetilde{\varepsilon}_{r}.
c) Faça a aproximação para baixas frequência na expressão da constente dielétrica complexa do item (b) e calcule o índice de refração complexo \widetilde{n}=\sqrt{\varepsilon_{r}}. Mostre que as partes real e imaginária de \widetilde{n} são iguais neste caso.
d) A profundidade de atenuação da onda no meio condutor, \delta, é definido pelo inverso da parte imaginária do número de onda, k_{i}, ou seja, \delta=1 / k_{i}. Lembre-se de que k=\widetilde{n} \frac{w}{c} e calcule o valor de \delta para a prata ( Ag ) na região de mcro-ondas ( f=\frac{w}{2 \pi}=10 \mathrm{GHz} ), para a qual vale a aproximação do item (c). A condutividade da prata nesta faixa de frequência é \sigma_{\mathrm{Ag}}=3 \times 10^{7}(\Omega m)^{-1}. Aproxime o resultado do cálculo e obtenha a ordem de grandeza de \delta_{\mathrm{Ag}}.

Passo 1

O enunciado dá a equação de onda no meio condutor (com condutividade elétrica \sigma, permeabilidade \mu_{0} e permissividade relativa \varepsilon_{r}=\varepsilon/\varepsilon_{0}):
\vec{\nabla}^{2}\vec{E}-\frac{\varepsilon_{r}}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\vec{E}}{\partial t^{2}}-\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}=0
onde c=1/\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}}.
O enunciado pede:
a) Verificar que a onda plana monocromática \vec{E}(z,t)=\vec{E}_{0}e^{i(kz-\omega t)} é solução e obter a relação entre o número de onda complexo k e a frequência angular \omega. Mostrar que k é real se o meio for isolante perfeito.
b) Achar a constante dielétrica complexa \widetilde{\varepsilon}_{r} usando a relação k^{2}=\widetilde{\varepsilon}_{r}\dfrac{\omega^{2}}{c^{2}}. Verificar que \Re(\widetilde{\varepsilon}_{r})=\varepsilon_{r} e explicitar a parte imaginária.
c) Fazer a aproximação de baixa frequência para \widetilde{\varepsilon}_{r} e calcular o índice de refração complexo \widetilde{n}=\sqrt{\widetilde{\varepsilon}_{r}}. Mostrar que, nessa aproximação, as partes real e imaginária de \widetilde{n} são iguais.
d) Definindo a profundidade de atenuação \delta=1/k_{i} (onde k_{i} é a parte imaginária de k), e usando k=\widetilde{n}\dfrac{\omega}{c}, calcular \delta para prata ( \mathrm{Ag}) em micro-ondas com f=10\\ \mathrm{GHz} e \sigma_{\mathrm{Ag}}=3\times10^{7}\,(\Omega\cdot\mathrm{m})^{-1}, usando a aproximação do item (c).
Já temos todos os dados necessários; a resolução começa agora.

Passo 2

Vamos verificar que \vec{E}(z,t)=\vec{E}_{0}e^{i(kz-\omega t)} é solução, calculando as derivadas que aparecem na equação de onda. Aqui \vec{E}_{0} é constante (vetor) e k pode ser complexo.
Primeiro a laplaciana (a onda depende só de z):
\vec{\nabla}^{2}\vec{E}=\frac{\partial^{2}\vec{E}}{\partial z^{2}}= -k^{2}\vec{E}(z,t).
Explicando: derivar e^{i(kz-\omega t)} duas vezes em z traz um fator i k duas vezes, ou seja (i k)^{2}=-k^{2}.
Agora as derivadas temporais:
\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}= -i\omega \vec{E}(z,t),
\frac{\partial^{2}\vec{E}}{\partial t^{2}}= -\omega^{2}\vec{E}(z,t).
Explicando: derivar e^{i(kz-\omega t)} em t traz -i\omega uma vez, e novamente traz -\omega^{2}.

Passo 3

Substituímos tudo na equação de onda:
(-k^{2})\vec{E}-\frac{\varepsilon_{r}}{c^{2}}(-\omega^{2})\vec{E}-\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}\frac{1}{c^{2}}(-i\omega)\vec{E}=0.
Fatorando \vec{E} (não nula) e simplificando sinais, obtemos a relação escalar
-k^{2}+\frac{\varepsilon_{r}\,\omega^{2}}{c^{2}}+i\frac{\sigma\omega}{\varepsilon_{0}c^{2}}=0.
Rearranjando,
k^{2}=\frac{\omega^{2}}{c^{2}}\left(\varepsilon_{r}+i\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}\omega}\right).
Esta é a relação entre k e \omega. Para escrever k explicitamente:
k=\pm\frac{\omega}{c}\sqrt{\varepsilon_{r}+i\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}\omega}}.
Escolhe-se o sinal com a parte real positiva (propagação para +z atenuada se houver perda).
Se o meio for isolante perfeito, \sigma=0, então
k=\pm\frac{\omega}{c}\sqrt{\varepsilon_{r}},
que é real (assumindo \varepsilon_{r} real e positiva). Logo k torna-se real em meio isolante perfeito — a onda propaga sem atenuação.

Passo 4

Definimos a constante dielétrica complexa \widetilde{\varepsilon}_{r} pela relação
k^{2}=\widetilde{\varepsilon}_{r}\frac{\omega^{2}}{c^{2}}.
Comparando com a relação do passo anterior, obtemos
\widetilde{\varepsilon}_{r}=\varepsilon_{r}+i\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}\omega}.
Aqui cada termo significa:
  • \varepsilon_{r} é a parte real (a resposta dielétrica sem perdas),
  • i\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}\omega} é a parte imaginária (representando a perda por condução).
    Da expressão segue imediatamente que
\Re(\widetilde{\varepsilon}_{r})=\varepsilon_{r}, \qquad \Im(\widetilde{\varepsilon}_{r})=\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}\omega}.
A parte imaginária cresce com \sigma e decresce com \omega: mais condutividade → mais perda; maior frequência → menor contribuição relativa da perda ao parâmetro dielétrico (até certo ponto).

Passo 5

Agora fazemos a aproximação de baixa frequência para um bom condutor. Em condutores bons e em frequências não muito altas geralmente vale
\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}\omega}\gg\varepsilon_{r}.
Então a constante dielétrica complexa fica, aproximando,
\widetilde{\varepsilon}_{r}\approx i\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}\omega}.
O índice complexo é \widetilde{n}=\sqrt{\widetilde{\varepsilon}_{r}}. Tomando a raiz quadrada de um número puramente imaginário: escrevemos i=\mathrm{e}^{i\pi/2} e \sqrt{i}=\mathrm{e}^{i\pi/4}=\dfrac{1+i}{\sqrt{2}}. Assim
\widetilde{n}=\sqrt{i\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}\omega}}=\frac{1+i}{\sqrt{2}}\sqrt{\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}\omega}}.
Portanto as partes real e imaginária de \widetilde{n} são iguais e valem
n_{r}=n_{i}=\sqrt{\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}\omega}}.
Interpretação prática: em bom condutor, a onda é fortemente atenuada e a fase e a decaída têm escalas comparáveis — daí as partes real e imaginária iguais.

Passo 6

Queremos a profundidade de atenuação \delta=1/k_{i}. Sabendo que
k=\widetilde{n}\frac{\omega}{c},
a parte imaginária é k_{i}=\frac{\omega}{c}n_{i}. Usando n_{i}=\sqrt{\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_{0}\omega}} encontramos
k_{i}=\frac{\omega}{c}\sqrt{\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}\omega}}=\sqrt{\frac{\omega\sigma}{2\varepsilon_{0}c^{2}}}.
Agora usamos c^{2}=1/(\mu_{0}\varepsilon_{0}) para simplificar:
\frac{\omega\sigma}{2\varepsilon_{0}c^{2}}=\frac{\omega\sigma}{2\varepsilon_{0}}\cdot\mu_{0}\varepsilon_{0}=\frac{\omega\mu_{0}\sigma}{2}.
Logo
k_{i}=\sqrt{\frac{\omega\mu_{0}\sigma}{2}}.
Portanto a profundidade de penetração (skin depth) é
\delta=\frac{1}{k_{i}}=\sqrt{\frac{2}{\omega\mu_{0}\sigma}}.
Esta é a fórmula padrão para a profundidade de penetração em um condutor na aproximação de boa condutividade.

Passo 7

Agora o cálculo numérico para prata ( \mathrm{Ag}) com f=10\\ \mathrm{GHz} e \sigma=3\times10^{7}\,(\Omega\cdot\mathrm{m})^{-1}.
Primeiro a frequência angular:
\omega=2\pi f=2\pi\cdot10\times10^{9}=2\pi\cdot10^{10}\\ \mathrm{rad/s}\approx6{,}283185\times10^{10}\\ \mathrm{rad/s}.
A constante \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}\approx1{,}256637\times10^{-6}\\ \mathrm{H/m}.
Calculamos o produto \omega\mu_{0}\sigma:
\omega\mu_{0}\sigma\approx(6{,}283185\times10^{10})\times(1{,}256637\times10^{-6})\times(3\times10^{7}).
Faço em etapas: (1{,}256637\times10^{-6})\times(3\times10^{7})\approx37{,}69911. Multiplicando por \omega
\omega\mu_{0}\sigma\approx6{,}283185\times10^{10}\times37{,}69911\approx2{,}37\times10^{12}.
Dividindo por 2 e tirando raiz:
k_{i}=\sqrt{\frac{\omega\mu_{0}\sigma}{2}}\approx\sqrt{1{,}185\times10^{12}}\approx1{,}09\times10^{6}\\ \mathrm{m}^{-1}.
Finalmente
\delta=\frac{1}{k_{i}}\approx\frac{1}{1{,}09\times10^{6}}\\ \mathrm{m}\approx9{,}2\times10^{-7}\\ \mathrm{m}\approx0{,}92\\ \mu\mathrm{m}.
Portanto a ordem de grandeza é 10^{-6}\\ \mathrm{m} (micrômetro), ou seja, penetração sub-micrométrica na prata a 10\\ \mathrm{GHz}.

Resposta

a) k^{2}=\dfrac{\omega^{2}}{c^{2}}\!\left(\varepsilon_{r}+i\dfrac{\sigma}{\varepsilon_{0}\omega}\right). Para \sigma=0 temos k=\pm\dfrac{\omega}{c}\sqrt{\varepsilon_{r}}, que é real.
b) \widetilde{\varepsilon}_{r}=\varepsilon_{r}+i\dfrac{\sigma}{\varepsilon_{0}\omega}. \Re(\widetilde{\varepsilon}_{r})=\varepsilon_{r}. \Im(\widetilde{\varepsilon}_{r})=\dfrac{\sigma}{\varepsilon_{0}\omega}.
c) Em baixa frequência \widetilde{\varepsilon}_{r}\approx i\dfrac{\sigma}{\varepsilon_{0}\omega} e
\displaystyle \widetilde{n}=\frac{1+i}{\sqrt{2}}\sqrt{\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}\omega}}, portanto n_{r}=n_{i}=\sqrt{\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_{0}\omega}}.
d) \displaystyle \delta=\sqrt{\frac{2}{\omega\mu_{0}\sigma}}. Para prata com f=10\\ \mathrm{GHz} e \sigma=3\times10^{7}\,(\Omega\cdot\mathrm{m})^{-1} resulta \delta\approx9{,}2\times10^{-7}\\ \mathrm{m} (ordem de 10^{-6}\\ \mathrm{m}).

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