10- Demonstre que num meio quase transparente de índice de refração
, o comprimento de atenuação
está relacionado com a condutividade
por
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar a relação
num meio “quase transparente” cujo índice de refração é dado por
. As informações relevantes que temos são:
- condutividade elétrica do meio:
(unidade ); - índice de refração real:
(onde e são as permeabilidade e permissividade relativas); - impedância do vácuo:
(valor aproximado ); - o meio é “quase transparente”, ou seja, a perda por condução é pequena comparada ao termo dielétrico (formalmente
).
O objetivo é mostrar como o comprimento de atenuaçãodo campo eletromagnético se relaciona com e . (A resolução começa no Passo 2.)
Passo 2
Modelagem física básica — como a condutividade aparece na constante dielétrica efetiva.
Quando uma onda eletromagnética varia harmonicamente no tempo como
, a equação de Ampère-Maxwell na forma local é
Aqui a corrente de condução é
e
com
. Substituindo a dependência temporal
obtemos o termo efetivo que multiplica
:
Isso é equivalente a trabalhar com uma permissividade complexa efetiva
Comentário didático: a presença de
transforma a parte real da permissividade em uma parte imaginária (absorção). Em média, para
pequeno, esse termo imaginário é uma pequena correção.
Passo 3
Relação entre o número de onda complexo e o índice complexo de refração.
A relação de dispersão para o número de onda
é
onde
. Definimos o índice complexo de refração
por
ou seja
Escrevemos
, onde
é o índice real dado no enunciado e
é o coeficiente de extinção (a parte imaginária do índice). Para simplificar notação introduzimos
Então
Passo 4
Aproximação para meio quase transparente (
) — expansão em série.
Para
fazemos a expansão de raiz quadrada (binomial) da forma
pois termos de ordem
e superiores são desprezíveis. Assim
Portanto a parte imaginária (coeficiente de extinção) é
Comentário didático:
mede quanto o índice é complexo — quanto maior
, mais forte a atenuação do campo.
Passo 5
Relação entre
e a atenuação do campo elétrico.
O número de onda complexo é
A variação do campo no espaço é
. Assim a amplitude do campo decai como
. Como
, o comprimento de atenuação para a amplitude (definido como a distância
tal que a amplitude cai por um fator
) é
Substituímos
obtido no Passo 4:
Passo 6
Expressão em termos de
e simplificação final.
Usamos
e a relação entre
e
. Sabemos que
Assim
Logo a expressão para
do Passo 5 fica
Agora usamos a identidade algébrica entre
,
e
. Como
, temos
Substituindo,
Finalmente, para meios não magnéticos (caso usual em óptica e muitos dielétricos) tomamos
. Assim obtemos
Comentário final didático: portanto a fórmula dada no enunciado corresponde ao comprimento de atenuação da amplitude para um meio de baixa perda (
) e com
. Se
aparece um fator
no denominador, como mostrado acima.