10- Demonstre que num meio quase transparente de índice de refração n=\sqrt{\mu_{r} \varepsilon_{r}}, o comprimento de atenuação \delta está relacionado com a condutividade \sigma por
\delta=\frac{2 n}{\sigma Z_{o}}

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a relação
\delta=\frac{2 n}{\sigma Z_{o}}
num meio “quase transparente” cujo índice de refração é dado por \;n=\sqrt{\mu_{r}\varepsilon_{r}}\;. As informações relevantes que temos são:
  • condutividade elétrica do meio: \sigma (unidade \mathrm{S/m});
  • índice de refração real: \;n=\sqrt{\mu_{r}\varepsilon_{r}}\; (onde \mu_{r} e \varepsilon_{r} são as permeabilidade e permissividade relativas);
  • impedância do vácuo: \;Z_{o}=\sqrt{\dfrac{\mu_{0}}{\varepsilon_{0}}}\; (valor aproximado \,377\\ \Omega);
  • o meio é “quase transparente”, ou seja, a perda por condução é pequena comparada ao termo dielétrico (formalmente \dfrac{\sigma}{\omega\varepsilon}\ll1).
    O objetivo é mostrar como o comprimento de atenuação \delta do campo eletromagnético se relaciona com \sigma e Z_{o}. (A resolução começa no Passo 2.)

Passo 2

Modelagem física básica — como a condutividade aparece na constante dielétrica efetiva.
Quando uma onda eletromagnética varia harmonicamente no tempo como \mathrm{e}^{i(kz-\omega t)}, a equação de Ampère-Maxwell na forma local é
\nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{J}+\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}.
Aqui a corrente de condução é \mathbf{J}=\sigma\mathbf{E} e \mathbf{D}=\varepsilon\mathbf{E} com \varepsilon=\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}. Substituindo a dependência temporal \partial/\partial t\to -i\omega obtemos o termo efetivo que multiplica \mathbf{E}:
\mathbf{J}+\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}=(\sigma - i\omega\varepsilon)\mathbf{E}.
Isso é equivalente a trabalhar com uma permissividade complexa efetiva
\tilde{\varepsilon}=\varepsilon - i\frac{\sigma}{\omega}.
Comentário didático: a presença de \sigma transforma a parte real da permissividade em uma parte imaginária (absorção). Em média, para \sigma pequeno, esse termo imaginário é uma pequena correção.

Passo 3

Relação entre o número de onda complexo e o índice complexo de refração.
A relação de dispersão para o número de onda k é
k^{2}=\omega^{2}\mu\tilde{\varepsilon},
onde \mu=\mu_{0}\mu_{r}. Definimos o índice complexo de refração \tilde{N} por
k=\frac{\omega}{c}\tilde{N},
ou seja
\tilde{N}^{2}=\mu_{r}\varepsilon_{r}\left(1 - i\frac{\sigma}{\omega\varepsilon}\right).
Escrevemos \tilde{N}=n+i\kappa, onde n é o índice real dado no enunciado e \kappa é o coeficiente de extinção (a parte imaginária do índice). Para simplificar notação introduzimos
\chi\equiv\frac{\sigma}{\omega\varepsilon}.
Então
\tilde{N}^{2}=n^{2}(1-i\chi).

Passo 4

Aproximação para meio quase transparente ( \chi\ll1) — expansão em série.
Para \chi\ll1 fazemos a expansão de raiz quadrada (binomial) da forma
\sqrt{1-i\chi}\approx 1 - i\frac{\chi}{2},
pois termos de ordem \chi^{2} e superiores são desprezíveis. Assim
\tilde{N}=n\sqrt{1-i\chi}\approx n\left(1 - i\frac{\chi}{2}\right).
Portanto a parte imaginária (coeficiente de extinção) é
\kappa \approx n\frac{\chi}{2}=n\frac{1}{2}\frac{\sigma}{\omega\varepsilon}.
Comentário didático: \kappa mede quanto o índice é complexo — quanto maior \kappa, mais forte a atenuação do campo.

Passo 5

Relação entre \kappa e a atenuação do campo elétrico.
O número de onda complexo é
k=\frac{\omega}{c}\tilde{N}=\frac{\omega}{c}(n+i\kappa)=k'+ik''.
A variação do campo no espaço é \mathrm{e}^{ikz}=\mathrm{e}^{ik'z} \mathrm{e}^{-k''z}. Assim a amplitude do campo decai como \mathrm{e}^{-k''z}. Como k''=\dfrac{\omega\kappa}{c}, o comprimento de atenuação para a amplitude (definido como a distância \delta tal que a amplitude cai por um fator \mathrm{e}) é
\delta=\frac{1}{k''}=\frac{c}{\omega\kappa}.
Substituímos \kappa obtido no Passo 4:
\delta=\frac{c}{\omega}\cdot\frac{1}{n}\cdot\frac{2\omega\varepsilon}{\sigma}=\frac{2c\varepsilon}{n\sigma}.

Passo 6

Expressão em termos de Z_{o} e simplificação final.
Usamos \varepsilon=\varepsilon_{0}\varepsilon_{r} e a relação entre \varepsilon_{0}c e Z_{o}. Sabemos que
Z_{o}=\sqrt{\frac{\mu_{0}}{\varepsilon_{0}}}\quad\Rightarrow\quad \frac{1}{Z_{o}}=\sqrt{\frac{\varepsilon_{0}}{\mu_{0}}}=\varepsilon_{0}c.
Assim
c\varepsilon = c\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}=\frac{\varepsilon_{r}}{Z_{o}}.
Logo a expressão para \delta do Passo 5 fica
\delta=\frac{2}{n\sigma}\cdot\frac{\varepsilon_{r}}{Z_{o}}=\frac{2\varepsilon_{r}}{n\sigma Z_{o}}.
Agora usamos a identidade algébrica entre \varepsilon_{r}, n e \mu_{r}. Como n^{2}=\mu_{r}\varepsilon_{r}, temos
\frac{\varepsilon_{r}}{n}=\frac{n}{\mu_{r}}.
Substituindo,
\delta=\frac{2n}{\mu_{r}\sigma Z_{o}}.
Finalmente, para meios não magnéticos (caso usual em óptica e muitos dielétricos) tomamos \mu_{r}\approx1. Assim obtemos
\delta=\frac{2n}{\sigma Z_{o}}.
Comentário final didático: portanto a fórmula dada no enunciado corresponde ao comprimento de atenuação da amplitude para um meio de baixa perda ( \dfrac{\sigma}{\omega\varepsilon}\ll1) e com \mu_{r}\approx1. Se \mu_{r}\neq1 aparece um fator \mu_{r} no denominador, como mostrado acima.

Resposta

\delta=\dfrac{2 n}{\sigma Z_{o}}

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