17-(EUF-2018) Considere a propagação de ondas eletromagnéticas num meio linear, homogêneo e isotrópico com condutividade elétrica \sigma, permissividade \varepsilon e permeabilidade \mu, na ausência de fontes de cargas elétricas livres ( \rho_{f}=0 ).
a) Escreva as equações de Maxwell para os campos elétrico \vec{E} e magnético \vec{B} no meio, em termos de \sigma, \varepsilon e \mu.
b) Encontre a equação diferencial que envolve apenas o campo elétrico \vec{E}.
c) Considere uma solução do tipo onda plana \vec{E}(x, t)=\vec{E}_{o} e^{i(k x-w t)} e obtenha a relaçãp entre k e w em termos de \sigma, \varepsilon e \mu.
d) Com relação ao resultado do item (c), interprete fisicamente a diferença entre os casos \sigma \neq 0 e \sigma=0.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas separadas:
  • (a) Escrever as equações de Maxwell no meio linear, homogêneo e isotrópico, com condutividade elétrica \sigma, permissividade \varepsilon e permeabilidade \mu, e sem cargas livres ( \rho_{f}=0).
  • (b) A partir das equações de Maxwell acima, obter uma equação diferencial que envolva apenas o campo elétrico \vec{E} (equação de onda com perdas).
  • (c) Admitir uma solução do tipo onda plana \vec{E}(x,t)=\vec{E}_{o}e^{i(kx-wt)} e obter a relação entre k e w em termos de \sigma,\varepsilon,\mu.
  • (d) Interpretar fisicamente a diferença entre os casos \sigma\neq0 e \sigma=0.
Dados e hipóteses fornecidos (listei tudo para não esquecer nada):
  • Meio linear, homogêneo, isotrópico com parâmetros constantes \sigma,\varepsilon,\mu.
  • Ausência de cargas livres: \rho_{f}=0.
  • Presença de corrente de condução relacionada por \vec{J}=\sigma\vec{E} (lei de Ohm local).
  • Relações constitutivas (no meio): \vec{D}=\varepsilon\vec{E} e \vec{B}=\mu\vec{H}.
A partir daqui eu vou desenvolver passo a passo cada item, explicando a teoria usada em cada passo.

Passo 2

(a) Escrever as equações de Maxwell no meio — explicação e resultado.
Primeiro, lembro as formas diferenciais de Maxwell no vácuo com fontes; aqui eu adapto ao meio usando as relações constitutivas e \vec{J}=\sigma\vec{E}. As equações diferenciais gerais são:
\nabla\cdot\vec{D}=\rho_{f},\qquad \nabla\cdot\vec{B}=0,
\nabla\times\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t},\qquad \nabla\times\vec{H}=\vec{J}_{f}+\frac{\partial\vec{D}}{\partial t}.
Agora aplico as hipóteses: \rho_{f}=0, \vec{D}=\varepsilon\vec{E}, \vec{B}=\mu\vec{H} e \vec{J}_{f}=\sigma\vec{E}. Substituindo tudo temos:
  • Gauss para \vec{E}:
\nabla\cdot\vec{D}=\rho_{f}=0 \quad\Rightarrow\quad \nabla\cdot(\varepsilon\vec{E})=0.
Como \varepsilon é constante (meio homogêneo), isso dá
\nabla\cdot\vec{E}=0.
  • Gauss para \vec{B}:
\nabla\cdot\vec{B}=0.
  • Faraday:
\nabla\times\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}.
  • Ampère–Maxwell (no meio, incluindo corrente de condução):
\nabla\times\vec{H}=\sigma\vec{E}+\frac{\partial\vec{D}}{\partial t}.
Substituindo \vec{H}=\vec{B}/\mu e \vec{D}=\varepsilon\vec{E}:
\nabla\times\left(\frac{\vec{B}}{\mu}\right)=\sigma\vec{E}+\varepsilon\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}.
Multiplicando por \mu (para escrever de modo conveniente):
\nabla\times\vec{B}=\mu\sigma\vec{E}+\mu\varepsilon\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}.
Resumo final (respondo (a)):
\nabla\cdot\vec{E}=0,\qquad \nabla\cdot\vec{B}=0,
\nabla\times\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t},\qquad \nabla\times\vec{B}=\mu\sigma\vec{E}+\mu\varepsilon\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}.

Passo 3

(b) Derivar a equação diferencial envolvendo apenas \vec{E} — passo a passo, com as identidades usadas.
Estratégia: tomar o rotacional (curl) da equação de Faraday e eliminar \vec{B} usando a equação de Ampère–Maxwell. Vou explicar a identidade vetorial que uso:
Identidade vetorial útil:
\nabla\times(\nabla\times\vec{E})=\nabla(\nabla\cdot\vec{E})-\nabla^{2}\vec{E},
onde \nabla^{2}\vec{E} é o laplaciano vetorial (aplica \nabla^{2} componente a componente).
Começo aplicando \nabla\times em \nabla\times\vec{E}=-\partial_{t}\vec{B}:
\nabla\times(\nabla\times\vec{E})=-\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times\vec{B}).
Pelo lado esquerdo uso a identidade vetorial:
\nabla(\nabla\cdot\vec{E})-\nabla^{2}\vec{E} = -\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times\vec{B}).
Mas do Passo 2 sabemos que \nabla\cdot\vec{E}=0, então \nabla(\nabla\cdot\vec{E})=\vec{0}. Assim:
-\nabla^{2}\vec{E} = -\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times\vec{B}).
Cancelando sinais:
\nabla^{2}\vec{E} = \frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times\vec{B}).
Agora substituo \nabla\times\vec{B} pela expressão obtida em Ampère–Maxwell:
\nabla\times\vec{B}=\mu\sigma\vec{E}+\mu\varepsilon\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}.
Portanto:
\nabla^{2}\vec{E}=\frac{\partial}{\partial t}\left(\mu\sigma\vec{E}+\mu\varepsilon\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}\right).
Como \mu,\sigma,\varepsilon são constantes no meio homogêneo podemos tirar fora a derivada temporal:
\nabla^{2}\vec{E}=\mu\sigma\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}+\mu\varepsilon\frac{\partial^{2}\vec{E}}{\partial t^{2}}.
Rearranjando para a forma padrão:
\nabla^{2}\vec{E}-\mu\varepsilon\frac{\partial^{2}\vec{E}}{\partial t^{2}}-\mu\sigma\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}=0.
Comentário didático: essa é a equação de onda no meio com um termo de perda proporcional a \sigma. Se \sigma=0 recuperamos a equação de onda usual sem amortecimento; se \sigma\neq0 temos amortecimento temporal que gera atenuação espacial das ondas. Para entender isso vamos testar com uma onda plana no próximo passo.

Passo 4

(c) Substituir a ansatz de onda plana e obter relação entre k e w.
Estamos supondo uma solução do tipo onda plana que se propaga ao longo do eixo x:
\vec{E}(x,t)=\vec{E}_{o}e^{i(kx-wt)}.
Primeiro calculo as derivadas que aparecem na equação de onda:
  • Laplaciano no caso de dependência só em x (onda unidimensional): aplicar segunda derivada espacial:
\nabla^{2}\vec{E}=\frac{\partial^{2}\vec{E}}{\partial x^{2}}=(-k^{2})\vec{E}.
Explicação: derivando e^{i(kx-wt)} duas vezes em x i k e depois mais i k, ou seja (ik)^{2}=-k^{2}.
  • Derivadas temporais:
\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}=(-i w)\vec{E},\qquad \frac{\partial^{2}\vec{E}}{\partial t^{2}}=(-i w)^{2}\vec{E} = -w^{2}\vec{E}.
Agora substituo essas relações na equação de onda obtida no Passo 3:
\nabla^{2}\vec{E}-\mu\varepsilon\frac{\partial^{2}\vec{E}}{\partial t^{2}}-\mu\sigma\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}=0.
Substituindo:
(-k^{2})\vec{E}-\mu\varepsilon(-w^{2})\vec{E}-\mu\sigma(-i w)\vec{E}=0.
Factorizando \vec{E} (que é não-nula para termos uma onda):
-k^{2}+\mu\varepsilon w^{2}+i\mu\sigma w=0.
Isolando k^{2}:
k^{2}=\mu\varepsilon w^{2}+i\mu\sigma w.
Esta é a relação desejada entre k e w. Podemos escrever em forma levemente fatorada:
k^{2}=\mu\varepsilon w^{2}\left(1+i\frac{\sigma}{\varepsilon w}\right).
Observação: aqui k pode ser complexo quando \sigma\neq0. Se k for complexo, escrevemos k=k_{r}+i k_{i} e a dependência espacial e^{i k x}=e^{i k_{r} x} e^{-k_{i} x} mostra que k_{i}>0 dá atenuação no sentido crescente de x.

Passo 5

(d) Interpretação física: diferença entre \sigma\neq0 e \sigma=0; limites físicos e fórmulas úteis.
Primeira observação geral:
  • A relação k^{2}=\mu\varepsilon w^{2}+i\mu\sigma w mostra que a presença de condutividade \sigma introduz uma parte imaginária em k. Uma parte imaginária em k corresponde a atenuação exponencial do campo conforme ele se propaga (perdas no meio).
Caso \sigma=0 (meio perfeitamente isolante, dieletricidade ideal):
  • A relação reduz-se a
k^{2}=\mu\varepsilon w^{2}.
  • Logo k=\pm w\sqrt{\mu\varepsilon} real. Então não há atenuação: ondas viajam sem perdas. A velocidade de fase é
v_{\text{fase}}=\frac{w}{k}=\frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}.
Isso é o comportamento de um dielétrico ideal (sem corrente de condução).
Caso \sigma\neq0 (meio condutor ou com perdas):
  • k é, em geral, complexo. Escrevendo k=\beta+i\alpha (atenuação \alpha, constante de fase \beta):
\vec{E}\propto e^{i(kx-wt)}=e^{i\beta x}e^{-\alpha x}e^{-iwt},
ou seja, há atenuação espacial via fator e^{-\alpha x}. A intensidade (proporcional a |\vec{E}|^{2}) cai aproximadamente como e^{-2\alpha x}.
Limites úteis — aproximações simples:
  1. Meio bom condutor: \sigma\gg\varepsilon w.
  • Neste caso o termo i\mu\sigma w domina sobre \mu\varepsilon w^{2}. Aproximando k^{2}\approx i\mu\sigma w.
  • Tomando raiz quadrada (lembrando \sqrt{i}=(1+i)/\sqrt{2}):
k\approx(1+i)\sqrt{\frac{\mu\sigma w}{2}}.
  • Assim \beta\approx\alpha\approx\sqrt{\dfrac{\mu\sigma w}{2}}. A profundidade de penetração ou “skin depth” \delta (distância na qual o campo decai em 1/e) é
\delta=\frac{1}{\alpha}\approx\sqrt{\frac{2}{\mu\sigma w}}.
Isso significa que em condutores bons a onda penetra apenas uma pequena distância (pequena \delta) e é fortemente atenuada.
  1. Meio quase isolante (condutividade fraca): \sigma\ll\varepsilon w.
  • Agora \mu\varepsilon w^{2} domina e podemos tratar o termo i\mu\sigma w como pequena correção:
k\approx w\sqrt{\mu\varepsilon}\;\sqrt{1+i\frac{\sigma}{\varepsilon w}}\approx w\sqrt{\mu\varepsilon}\left(1+\frac{i}{2}\frac{\sigma}{\varepsilon w}\right).
  • Então \beta\approx w\sqrt{\mu\varepsilon} (fase praticamente como no dielétrico) e a parte imaginária é pequena \alpha\approx \dfrac{\sigma}{2}\sqrt{\dfrac{\mu}{\varepsilon}}\,\dfrac{1}{2w} (pequena atenuação). A onda sofre pouca perda por unidade de comprimento.
Resumo físico simples e intuitivo:
  • \sigma=0: meio sem perdas, ondas se propagam sem atenuação, velocidade 1/\sqrt{\mu\varepsilon}.
  • \sigma\neq0: há corrente de condução que dissipa energia (a energia do campo é convertida em calor Joule). Isso aparece matematicamente como uma parte imaginária de k e fisicamente como atenuação espacial (decai exponencialmente). Para condutores bons a atenuação é forte e a penetração é limitada pela skin depth; para condutividades pequenas a atenuação é fraca.
Um incentivo final: essa derivação é padrão e superútil — decore a sequência “Faraday → curl → identidade vetorial → substituir Ampère–Maxwell” e a conta sai redondinha na prova. Você consegue!

Resposta

(a) \nabla\cdot\vec{E}=0,\quad \nabla\cdot\vec{B}=0,\quad \nabla\times\vec{E}=-\dfrac{\partial\vec{B}}{\partial t},\quad \nabla\times\vec{B}=\mu\sigma\vec{E}+\mu\varepsilon\dfrac{\partial\vec{E}}{\partial t}.\n
(b) \nabla^{2}\vec{E}-\mu\varepsilon\dfrac{\partial^{2}\vec{E}}{\partial t^{2}}-\mu\sigma\dfrac{\partial\vec{E}}{\partial t}=0.\n
(c) Para \vec{E}(x,t)=\vec{E}_{o}e^{i(kx-wt)} obtém-se \;k^{2}=\mu\varepsilon w^{2}+i\mu\sigma w\; (ou \;k^{2}=\mu\varepsilon w^{2}\bigl(1+i\dfrac{\sigma}{\varepsilon w}\bigr)).\n
(d) \sigma=0: k=\pm w\sqrt{\mu\varepsilon} real, propagação sem atenuação e velocidade 1/\sqrt{\mu\varepsilon}. \sigma\neq0: k geralmente complexo, implicando atenuação espacial e^{-\alpha x}; para bom condutor ( \sigma\gg\varepsilon w) k\approx(1+i)\sqrt{\dfrac{\mu\sigma w}{2}} e skin depth \delta\approx\sqrt{\dfrac{2}{\mu\sigma w}}.

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