17-(EUF-2018) Considere a propagação de ondas eletromagnéticas num meio linear, homogêneo e isotrópico com condutividade elétrica
, permissividade
e permeabilidade
, na ausência de fontes de cargas elétricas livres (
).
a) Escreva as equações de Maxwell para os campos elétrico
e magnético
no meio, em termos de
e
.
b) Encontre a equação diferencial que envolve apenas o campo elétrico
.
c) Considere uma solução do tipo onda plana
e obtenha a relaçãp entre
e
em termos de
e
.
d) Com relação ao resultado do item (c), interprete fisicamente a diferença entre os casos
e
.
a) Escreva as equações de Maxwell para os campos elétrico
b) Encontre a equação diferencial que envolve apenas o campo elétrico
c) Considere uma solução do tipo onda plana
d) Com relação ao resultado do item (c), interprete fisicamente a diferença entre os casos
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas separadas:
- (a) Escrever as equações de Maxwell no meio linear, homogêneo e isotrópico, com condutividade elétrica
, permissividade e permeabilidade , e sem cargas livres ( ). - (b) A partir das equações de Maxwell acima, obter uma equação diferencial que envolva apenas o campo elétrico
(equação de onda com perdas). - (c) Admitir uma solução do tipo onda plana
e obter a relação entre e em termos de . - (d) Interpretar fisicamente a diferença entre os casos
e .
Dados e hipóteses fornecidos (listei tudo para não esquecer nada):
- Meio linear, homogêneo, isotrópico com parâmetros constantes
. - Ausência de cargas livres:
. - Presença de corrente de condução relacionada por
(lei de Ohm local). - Relações constitutivas (no meio):
e .
A partir daqui eu vou desenvolver passo a passo cada item, explicando a teoria usada em cada passo.
Passo 2
(a) Escrever as equações de Maxwell no meio — explicação e resultado.
Primeiro, lembro as formas diferenciais de Maxwell no vácuo com fontes; aqui eu adapto ao meio usando as relações constitutivas e
. As equações diferenciais gerais são:
Agora aplico as hipóteses:
,
,
e
. Substituindo tudo temos:
- Gauss para
:
Como
é constante (meio homogêneo), isso dá
- Gauss para
:
- Faraday:
- Ampère–Maxwell (no meio, incluindo corrente de condução):
Substituindo
e
:
Multiplicando por
(para escrever de modo conveniente):
Resumo final (respondo (a)):
Passo 3
(b) Derivar a equação diferencial envolvendo apenas
— passo a passo, com as identidades usadas.
Estratégia: tomar o rotacional (curl) da equação de Faraday e eliminar
usando a equação de Ampère–Maxwell. Vou explicar a identidade vetorial que uso:
Identidade vetorial útil:
onde
é o laplaciano vetorial (aplica
componente a componente).
Começo aplicando
em
:
Pelo lado esquerdo uso a identidade vetorial:
Mas do Passo 2 sabemos que
, então
. Assim:
Cancelando sinais:
Agora substituo
pela expressão obtida em Ampère–Maxwell:
Portanto:
Como
são constantes no meio homogêneo podemos tirar fora a derivada temporal:
Rearranjando para a forma padrão:
Comentário didático: essa é a equação de onda no meio com um termo de perda proporcional a
. Se
recuperamos a equação de onda usual sem amortecimento; se
temos amortecimento temporal que gera atenuação espacial das ondas. Para entender isso vamos testar com uma onda plana no próximo passo.
Passo 4
(c) Substituir a ansatz de onda plana e obter relação entre
e
.
Estamos supondo uma solução do tipo onda plana que se propaga ao longo do eixo
:
Primeiro calculo as derivadas que aparecem na equação de onda:
- Laplaciano no caso de dependência só em
(onda unidimensional): aplicar segunda derivada espacial:
Explicação: derivando
duas vezes em
dá
e depois mais
, ou seja
.
- Derivadas temporais:
Agora substituo essas relações na equação de onda obtida no Passo 3:
Substituindo:
Factorizando
(que é não-nula para termos uma onda):
Isolando
:
Esta é a relação desejada entre
e
. Podemos escrever em forma levemente fatorada:
Observação: aqui
pode ser complexo quando
. Se
for complexo, escrevemos
e a dependência espacial
mostra que
dá atenuação no sentido crescente de
.
Passo 5
(d) Interpretação física: diferença entre
e
; limites físicos e fórmulas úteis.
Primeira observação geral:
- A relação
mostra que a presença de condutividade introduz uma parte imaginária em . Uma parte imaginária em corresponde a atenuação exponencial do campo conforme ele se propaga (perdas no meio).
Caso
(meio perfeitamente isolante, dieletricidade ideal):
- A relação reduz-se a
- Logo
real. Então não há atenuação: ondas viajam sem perdas. A velocidade de fase é
Isso é o comportamento de um dielétrico ideal (sem corrente de condução).
Caso
(meio condutor ou com perdas):
-
é, em geral, complexo. Escrevendo (atenuação , constante de fase ):
ou seja, há atenuação espacial via fator
. A intensidade (proporcional a
) cai aproximadamente como
.
Limites úteis — aproximações simples:
- Meio bom condutor:
.
- Neste caso o termo
domina sobre . Aproximando . - Tomando raiz quadrada (lembrando
):
- Assim
. A profundidade de penetração ou “skin depth” (distância na qual o campo decai em ) é
Isso significa que em condutores bons a onda penetra apenas uma pequena distância (pequena
) e é fortemente atenuada.
- Meio quase isolante (condutividade fraca):
.
- Agora
domina e podemos tratar o termo como pequena correção:
- Então
(fase praticamente como no dielétrico) e a parte imaginária é pequena (pequena atenuação). A onda sofre pouca perda por unidade de comprimento.
Resumo físico simples e intuitivo:
-
: meio sem perdas, ondas se propagam sem atenuação, velocidade . -
: há corrente de condução que dissipa energia (a energia do campo é convertida em calor Joule). Isso aparece matematicamente como uma parte imaginária de e fisicamente como atenuação espacial (decai exponencialmente). Para condutores bons a atenuação é forte e a penetração é limitada pela skin depth; para condutividades pequenas a atenuação é fraca.
Um incentivo final: essa derivação é padrão e superútil — decore a sequência “Faraday → curl → identidade vetorial → substituir Ampère–Maxwell” e a conta sai redondinha na prova. Você consegue!
Resposta
(a)
\n
(b) \n
(c) Para obtém-se
(ou
).\n
(d) :
real, propagação sem atenuação e velocidade
.
:
geralmente complexo, implicando atenuação espacial
; para bom condutor (
)
e skin depth
.
(b)
(c) Para
(d)