1. Às 13 horas um navio A está a 100 km ao Norte de um navio B. O navio A está navegando para o Sul a 20 km / h, enquanto que o navio B está navegando para o Leste a 15 km / h. Determine se os navios estão se aproximando ou afastando às 16 h e com que velocidade isto está ocorrendo.

Passo 1

O enunciado diz que às 13 h o navio A está 100 km ao Norte de B. O navio A navega para o Sul a 20 km/h e o navio B navega para o Leste a 15 km/h. Precisamos usar derivadas em leis de formação de posições e relação de taxas para ver como varia a distância entre eles.

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas no instante inicial (13 h) em que B está em (0,0). Seja t o tempo em horas após 13 h. Então:
xA(t)=0, yA(t)=100 - 20t,
xB(t)=15t, yB(t)=0

Passo 3

A distância D(t) entre A e B é
D(t)=raizl(xA(t)-xB(t)r)^2 + l(yA(t)-yB(t)r)^2 =raiz(0-15t)^2 + (100-20t)^2

Passo 4

Para saber se eles se aproximam ou afastam, calculamos dfracdDdt. Usando regra da cadeia,
dDdt =12D(t)ddtl[(15t)^2 + (100-20t)^2r] =12D(t)l[2,(15t)cdot15 + 2,(100-20t)cdot(-20)r]
Simplificando,
dDdt =450t ;-;4000 +800t2D(t) =1250t -40002D(t) =1250t -40002raiz(15t)^2+(100-20t)^2

Passo 5

Em 16 h temos t=3. Então
D(3)=raiz(15cdot3)^2 + (100-20cdot3)^2 =raiz45^2 + 40^2 =raiz2025 +1600 =5raiz145,
dDdt|t=3 =1250cdot3 -40002cdot5raiz145 =3750 -400010raiz145 =-25010raiz145 =-25raiz145 (km/h)approx -2,08 km/h
O sinal negativo indica que a distância está diminuindo.

Resposta

Os navios estão se aproximando às 16 h com velocidade de aproximação de
25raiz145approx 2,08 km/h

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