1. Use o Cálculo para encontrar os valores máximos e mínimos da função f(x)=e^x^2-x, no intervalo [0,1].

Passo 1

O enunciado pede encontrar os valores máximos e mínimos da função f(x)=e^x^2-x no intervalo [0,1]. Para isso vamos usar Cálculo: derivar a função, achar os pontos críticos onde a derivada se anula e, em seguida, comparar os valores de f nesses pontos e nos extremos do intervalo.

Passo 2

A derivada de f é obtida pela regra da cadeia:
f'(x)=e^x^2-x,l(2x-1r)
Para encontrar os pontos críticos, resolvemos
f'(x)=0 Longrightarrow 2x-1=0 Longrightarrow x=tfrac12

Passo 3

Agora avaliamos f em x=0, x=tfrac12 e x=1:
f(0)=e^0^2-0=e^0=1
fl(tfrac12r)=e^(tfrac12)^2-tfrac12 =e^tfrac14-tfrac12 =e^-tfrac14
f(1)=e^1^2-1=e^0=1

Passo 4

Comparando os valores obtidos, temos e^-tfrac14<1. Logo, o valor mínimo de f em [0,1] é e^-tfrac14, que ocorre em x=tfrac12, e o valor máximo é 1, que ocorre em x=0 e x=1.

Resposta

O valor mínimo de f em [0,1] é e^-tfrac14, atingido em x=tfrac12.
O valor máximo de f em [0,1] é 1, atingido em x=0 e em x=1.

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