13. Integral (aplicação)

Uma força F=(y, x) move uma partícula ao longo da curva r(t)=(t, t^2) de t=0 a t=1. Calcule o trabalho realizado.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho realizado por uma força vec F(x,y)=(y,x) ao mover uma partícula ao longo da curva parametricamente dada por vec r(t)=(t,t^2) para 0<= t<=1. Aqui vamos usar o conceito de integral de linha para trabalho, ou seja
W=integralCvec Fcdot dvec r
com C descrita por vec r(t).

Passo 2

Calculamos o vetor tangente dvec r/dt. Como vec r(t)=(t,t^2), temos
dvec rdt = (1,2t)

Passo 3

Substituímos a trajetória em vec F. Em vec r(t) temos x=t e y=t^2, logo
vec Fl(vec r(t)r) = (y,x) = (t^2,,t)

Passo 4

Formamos o produto interno vec F(vec r(t))cdot dvec rdt:
vec F(vec r(t))cdot dvec rdt = (t^2,,t)cdot(1,2t) = t^2cdot1 + tcdot2t = 3t^2

Passo 5

O trabalho é a integral de 3t^2 de 0 a 1:
W = integral0^1 3t^2,dt = l[t^3r]0^1 = 1^3-0 = 1

Resposta

O trabalho realizado é 1.

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