13 integral raiz2+3 x 3 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tfrac13 integral raiz2+3x,3,dx. O conteúdo é integração por substituição e uso da regra de potência para funções do tipo (ax+b)^n.

Passo 2

Observe que o fator tfrac13 multiplicado por 3 se anula, simplificando a integral para integral raiz2+3x,dx. Fazendo a substituição u = 2+3x, temos du = 3,dx e portanto dx = tfracdu3.

Passo 3

Reescrevendo em termos de u, obtemos:
integral raiz2+3x,dx = integral u^1/2,du3 = 13integral u^1/2,du

Passo 4

Aplicando a regra de potência para integrar u^1/2:
integral u^1/2,du = u^3/23/2 = 23u^3/2
Multiplicando pelo fator tfrac13, obtemos tfrac29u^3/2. Voltando à variável x, a antiderivada final é:
29(2+3x)^3/2 + C

Resposta

29(2+3x)^3/2 + C

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