A função
é analítica em todo o plano complexo. Encontre o valor de
.
c) 3
c) 3
Passo 1
O enunciado pede para achar os valores de a e b de modo que a função f(x,y)=a(x2−y2)−2y + i(6xy+bx) seja analítica (holomorfa) em todo o plano. Isso envolve usar as equações de Cauchy–Riemann, pois escreveremos f=u+iv e exigiremos u_x=v_y e u_y=−v_x.
Passo 2
Identificamos as partes real e imaginária:
u(x,y)=a(x2−y2)−2y
v(x,y)=6xy+bx
e escrevemos as equações de Cauchy–Riemann:
u_x=v_y
u_y=−v_x.
u(x,y)=a(x2−y2)−2y
v(x,y)=6xy+bx
e escrevemos as equações de Cauchy–Riemann:
u_x=v_y
u_y=−v_x.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais necessárias:
u_x=2ax
u_y=−2ay−2
v_x=6y+b
v_y=6x
u_x=2ax
u_y=−2ay−2
v_x=6y+b
v_y=6x
Passo 4
Aplicamos u_x=v_y:
2ax=6x para todo x ⇒ 2a=6 ⇒ a=3
Em seguida u_y=−v_x:
−2ay−2=−(6y+b) ⇒ −2ay−2=−6y−b
Igualando coeficientes de y e constantes confirma a=3 e dá −2=−b ⇒ b=2.
2ax=6x para todo x ⇒ 2a=6 ⇒ a=3
Em seguida u_y=−v_x:
−2ay−2=−(6y+b) ⇒ −2ay−2=−6y−b
Igualando coeficientes de y e constantes confirma a=3 e dá −2=−b ⇒ b=2.
Passo 5
Com a=3 e b=2 encontramos a+b=3+2=5.
Resposta
5