Seja o campo vetorial F: R^3 R^3 dado por F(x, y, z)=(y z e^x z, e^x z, x y e^x z). Seja c a curva parametrizada pela função r:[0,2] R^3 dada por r(t)=(t(t-2), 2 t, e^t). Calcule integralc F cdot dr.

Passo 1

Entendendo o Problema
Vamos resolver o exercício que envolve calcular a integral de linha , onde:
  • Campo Vetorial :
  • Curva : Parametrizada por para no intervalo
Matéria Envolvida: Cálculo de integrais de linha em campos vetoriais, especialmente utilizando o conceito de campos conservativos.
O que Vamos Precisar:
  1. Entender o que é uma integral de linha.
  2. Verificar se o campo vetorial é conservativo.
  3. Encontrar uma função potencial para se for o caso.
  4. Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha.

Passo 2

Verificando se o Campo nabla times F = ( partial Rpartial y - partial Qpartial z, partial Ppartial z - partial Rpartial x, partial Qpartial x - partial Ppartial y ) é Conservativo
Primeiro, precisamos saber se o campo vetorial partial Rpartial y - partial Qpartial z = x e^x z - x e^x z = 0 é conservativo. Um campo é conservativo se existir uma função potencial tal que . Uma maneira de verificar isso é calculando o rotacional de ( ) e ver se é igual a zero.
Calculando o rotacional de :
Onde:
Vamos calcular cada componente:
Portanto, a primeira componente do rotacional é:
Repete o mesmo processo para as outras componentes e verifica que todas são iguais a zero. Assim, , o que significa que é um campo conservativo.

Passo 3

Encontrando a Função Potencial F = ( partial phipartial x, partial phipartial y, partial phipartial z )
Como partial phipartial x = y z e^x z Rightarrow phi(x, y, z) = integral y z e^x z dx = y e^x z + g(y, z) é conservativo, existe uma função potencial partial phipartial y = e^x z + partial gpartial y = e^x z Rightarrow partial gpartial y = 0 tal que partial phipartial z = y x e^x z + g'(z) = x y e^x z Rightarrow g'(z) = 0 . Para encontrar phi(x, y, z) = y e^x z , integramos os componentes de :
Vamos integrar a primeira componente de em relação a :
Agora, derivamos em relação a e comparamos com a segunda componente de :
Isso implica que é uma função apenas de : .
Finalmente, derivamos em relação a e comparamos com a terceira componente de :
Portanto, é uma constante. Podemos escolher sem perda de generalidade.
Então, a função potencial é:

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo para Integrais de Linha
O Teorema Fundamental nos diz que:
integralc F cdot dr = phi(r(2)) - phi(r(0))
Vamos calcular r(2) = (2(2-2), 2 times 2, e^2) = (0, 4, e^2) nos pontos finais da curva r(0) = (0(0-2), 2 times 0, e^0) = (0, 0, 1) .
Primeiro, encontramos os pontos:
  • Para :
  • Para :
Agora, calculamos nesses pontos:

Resposta

integralc F cdot dr = 4

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