Seja o campo vetorial
dado por
. Seja c a curva parametrizada pela função
dada por
. Calcule
.
Passo 1
Entendendo o Problema
Vamos resolver o exercício que envolve calcular a integral de linha
, onde:
- Campo Vetorial
: - Curva
: Parametrizada por para no intervalo
Matéria Envolvida: Cálculo de integrais de linha em campos vetoriais, especialmente utilizando o conceito de campos conservativos.
O que Vamos Precisar:
- Entender o que é uma integral de linha.
- Verificar se o campo vetorial
é conservativo. - Encontrar uma função potencial
para se for o caso. - Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha.
Passo 2
Verificando se o Campo
é Conservativo
Primeiro, precisamos saber se o campo vetorial
é conservativo. Um campo é conservativo se existir uma função potencial
tal que
. Uma maneira de verificar isso é calculando o rotacional de
(
) e ver se é igual a zero.
Calculando o rotacional de
:
Onde:
Vamos calcular cada componente:
Portanto, a primeira componente do rotacional é:
Repete o mesmo processo para as outras componentes e verifica que todas são iguais a zero. Assim,
, o que significa que
é um campo conservativo.
Passo 3
Encontrando a Função Potencial
Como
é conservativo, existe uma função potencial
tal que
. Para encontrar
, integramos os componentes de
:
Vamos integrar a primeira componente de
em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
e comparamos com a segunda componente de
:
Isso implica que
é uma função apenas de
:
.
Finalmente, derivamos
em relação a
e comparamos com a terceira componente de
:
Portanto,
é uma constante. Podemos escolher
sem perda de generalidade.
Então, a função potencial é:
Passo 4
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo para Integrais de Linha
O Teorema Fundamental nos diz que:
Vamos calcular
nos pontos finais da curva
.
Primeiro, encontramos os pontos:
- Para
:
- Para
:
Agora, calculamos
nesses pontos: