13- Um isótopo radioativo tem meia-vida de 5 horas. Se iniciarem com 160 g , quanto restará após 25 horas (supondo decaimento simples)?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Informação: meia-vida T_{1/2}=5 horas.
  • Informação: massa inicial N_0=160 g.
  • Informação: tempo decorrido t=25 horas.
  • Pergunta: quanto restará após 25 horas, supondo decaimento simples?

Passo 2

Conceito e fórmula que usamos: em decaimento por meia-vida, a quantidade que resta depois de um tempo t é dada pela fórmula
N(t)=N_0\left(\tfrac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}.
Explicando cada coisa:
  • N(t) é a massa que resta no tempo t.
  • N_0 é a massa inicial (no tempo t=0).
  • T_{1/2} é a meia-vida: o tempo que faz a massa cair à metade.
    A ideia por trás da fórmula: a cada intervalo de duração T_{1/2} a quantidade é multiplicada por \tfrac{1}{2}. Se t contém k meias-vidas então multiplicamos por (\tfrac{1}{2})^k; matematicamente k=\dfrac{t}{T_{1/2}}.

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula com os números do enunciado:
N(25)=160\left(\tfrac{1}{2}\right)^{\frac{25}{5}}.

Passo 4

Calcule o expoente:
\frac{25}{5}=5,
então
N(25)=160\left(\tfrac{1}{2}\right)^{5}.

Passo 5

Calcule \left(\tfrac{1}{2}\right)^{5}. Podemos fazer por potências:
\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}=\tfrac{1}{4},\qquad \left(\tfrac{1}{2}\right)^{3}=\tfrac{1}{8},\qquad \left(\tfrac{1}{2}\right)^{4}=\tfrac{1}{16},\qquad \left(\tfrac{1}{2}\right)^{5}=\tfrac{1}{32}.
Logo
N(25)=160\cdot \tfrac{1}{32}.

Passo 6

Complete a multiplicação/divisão sem calculadora: \tfrac{160}{32}. Como 32\cdot 5=160, obtemos
N(25)=5.
A unidade é gramas, porque N_0 estava em gramas.

Passo 7

Método alternativo (intuitivo) para checar: aplicar cinco meias-vidas sequenciais (cada uma de 5 horas):
160\to80\to40\to20\to10\to5,
ou seja, após 25 horas restam 5 g — confirma o cálculo anterior. Força aí, que é só isso!

Resposta

5\\ \text{g}

Exercícios relacionados