14- Se após 12 horas restarem
de uma amostra inicial de um radionuclideo, qual é a sua meiavida?
a) 3 horas
b) 2 horas
c) 4 horas
d) 6 horas
a) 3 horas
b) 2 horas
c) 4 horas
d) 6 horas
Passo 1
O enunciado diz que, após
horas, resta
(ou seja,
) da amostra inicial de um radionuclídeo. Pergunta: qual é a sua meia‑vida?
Informações dadas:
Informações dadas:
- Tempo observado
horas (escrito como ). - Fração restante após esse tempo
.
O que queremos encontrar: a meia‑vida, que denotaremos por.
Passo 2
Modelo físico/matemático (explicação didática): a desintegração radioativa segue uma lei exponencial. A quantidade
no tempo
é dada por
onde:
-
é a atividade (ou quantidade) no tempo , -
é a atividade inicial (no instante ), -
é a constante de decaimento (em unidades de aqui), -
é o tempo (em horas).
Essa fórmula significa que a taxa de variação é proporcional à quantidade presente — resultado clássico de processos exponenciais. Oé a base dos logaritmos naturais e aparece naturalmente ao resolver equações diferenciais simples.
Passo 3
Definição e fórmula da meia‑vida (aula curta): a meia‑vida
é o tempo necessário para que a quantidade fique pela metade, isto é,
. Usando o modelo:
Cancelando
e tomando logaritmo natural, obtemos
Como
, isolamos
Explicação:
é o logaritmo natural;
é um número fixo (~0,693), mas aqui vamos trabalhar simbolicamente para simplificar cálculos sem calculadora.
Passo 4
Usar a informação do enunciado para achar
: sabemos que
. Escrevendo isso com o modelo,
Cancelando
,
Tomando logaritmo natural em ambos os lados:
Agora note que
e
. Portanto
Isolando
,
Comentário: fizemos manipulações algébricas simples e propriedades de logaritmo (
) — nada de calculadora.
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula da meia‑vida obtida no Passo 3:
Interpretação do cálculo: como
,
cancela e sobra
(horas).
Passo 6
Método alternativo mais intuitivo (sem exponenciais): perceber que ficar com
da amostra significa que ocorreram duas meias‑vidas, porque
Se em
horas houve duas meias‑vidas, cada meia‑vida vale
horas. Esse raciocínio é mais direto e frequentemente usado em provas rápidas.
Resposta
d) 6 horas