14- Se após 12 horas restarem 25 \%(1 / 4) de uma amostra inicial de um radionuclideo, qual é a sua meiavida?
a) 3 horas
b) 2 horas
c) 4 horas
d) 6 horas

Passo 1

O enunciado diz que, após 12 horas, resta 25\% (ou seja, \tfrac{1}{4}) da amostra inicial de um radionuclídeo. Pergunta: qual é a sua meia‑vida?
Informações dadas:
  • Tempo observado t = 12 horas (escrito como 12).
  • Fração restante após esse tempo =\tfrac{1}{4}.
    O que queremos encontrar: a meia‑vida, que denotaremos por T_{1/2}.

Passo 2

Modelo físico/matemático (explicação didática): a desintegração radioativa segue uma lei exponencial. A quantidade A(t) no tempo t é dada por
A(t)=A_0 e^{-\lambda t},
onde:
  • A(t) é a atividade (ou quantidade) no tempo t,
  • A_0 é a atividade inicial (no instante t=0),
  • \lambda>0 é a constante de decaimento (em unidades de 1/\text{hora} aqui),
  • t é o tempo (em horas).
    Essa fórmula significa que a taxa de variação é proporcional à quantidade presente — resultado clássico de processos exponenciais. O e é a base dos logaritmos naturais e aparece naturalmente ao resolver equações diferenciais simples.

Passo 3

Definição e fórmula da meia‑vida (aula curta): a meia‑vida T_{1/2} é o tempo necessário para que a quantidade fique pela metade, isto é, A(T_{1/2})=A_0/2. Usando o modelo:
\frac{A_0}{2}=A_0 e^{-\lambda T_{1/2}}.
Cancelando A_0 e tomando logaritmo natural, obtemos
\frac{1}{2}=e^{-\lambda T_{1/2}}\quad\Rightarrow\quad \ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=-\lambda T_{1/2}.
Como \ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=-\ln 2, isolamos
T_{1/2}=\frac{\ln 2}{\lambda}.
Explicação: \ln é o logaritmo natural; \ln 2 é um número fixo (~0,693), mas aqui vamos trabalhar simbolicamente para simplificar cálculos sem calculadora.

Passo 4

Usar a informação do enunciado para achar \lambda: sabemos que A(12)=A_0/4. Escrevendo isso com o modelo,
\frac{A_0}{4}=A_0 e^{-\lambda\cdot 12}.
Cancelando A_0,
\frac{1}{4}=e^{-12\lambda}.
Tomando logaritmo natural em ambos os lados:
\ln\!\left(\tfrac{1}{4}\right)=-12\lambda.
Agora note que \ln\!\left(\tfrac{1}{4}\right)=-\ln 4 e \ln 4=\ln(2^2)=2\ln 2. Portanto
-2\ln 2 = -12\lambda.
Isolando \lambda,
\lambda=\frac{2\ln 2}{12}=\frac{\ln 2}{6}.
Comentário: fizemos manipulações algébricas simples e propriedades de logaritmo ( \ln a^b = b\ln a) — nada de calculadora.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula da meia‑vida obtida no Passo 3:
T_{1/2}=\frac{\ln 2}{\lambda}=\frac{\ln 2}{\ln 2/6}=6.
Interpretação do cálculo: como \lambda=\ln 2/6, \ln 2 cancela e sobra 6 (horas).

Passo 6

Método alternativo mais intuitivo (sem exponenciais): perceber que ficar com \tfrac{1}{4} da amostra significa que ocorreram duas meias‑vidas, porque
\frac{1}{4}=\left(\frac{1}{2}\right)^2.
Se em 12 horas houve duas meias‑vidas, cada meia‑vida vale \tfrac{12}{2}=6 horas. Esse raciocínio é mais direto e frequentemente usado em provas rápidas.

Resposta

d) 6 horas

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