Para cada uma das equações a seguir:
- Classifique cada uma delas como sendo separável, homogênea, linear, de Bernoulli ou exata.
- Determine a solução geral de cada equação diferencial dada.
Item 5.
.
Item 5.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
e pede duas coisas:
- Classificar essa equação entre as opções: separável, homogênea, linear, de Bernoulli ou exata.
- Determinar a solução geral da equação diferencial.
Informações dadas explicitamente:
- A equação está escrita em forma diferencial com termos envolvendo
e . - Não há imagens nem dados numéricos adicionais.
Passo 2
Vamos primeiro colocar a equação numa forma mais familiar para identificar sua classe. Dividindo por
(assumindo
) obtemos a forma de derivada:
Reescrevendo em forma padrão:
Agora analisamos as possíveis classificações:
- Se fosse separável, deveríamos conseguir escrever
. Aqui a segunda parcela é (função só de ) somada a , então não é um produto . Portanto NÃO é separável. - Se fosse homogênea (no sentido usual de funções homogêneas em
), a função do lado direito deveria ser do tipo após rearranjo; aqui há que depende apenas de , então NÃO é homogênea. - Para ser exata, escrita como
, com e , precisaríamos ter . Calculando, como são diferentes, a equação NÃO é exata. - A equação de Bernoulli tem a forma
com . Aqui temos , o termo à direita não é da forma , a menos que (o que reduz ao caso linear). Assim, neste contexto, a classificação mais apropriada e direta é: é uma equação linear de primeira ordem.
Conclusão de classificação: a equação é linear de primeira ordem.
Passo 3
Vou ensinar o método de solução para equações lineares de primeira ordem, de forma bem clara e prática, porque é o que precisamos aqui.
Forma geral da primeira ordem linear não homogênea:
onde
e
são funções conhecidas de
. O método padrão usa um fator integrante
definido por
Multiplicando a equação por
o lado esquerdo fica exatamente a derivada do produto
:
Então integra-se ambos os lados em
para obter
, e por fim divide-se por
para isolar
. Isso resolve a equação.
Passo 4
Aplicando isso à nossa equação
, identificamos
O fator integrante é
Passo 5
Multiplicando a equação original por
obtemos
Pela propriedade do fator integrante, o lado esquerdo é a derivada do produto
:
Passo 6
Integramos ambos os lados em
:
onde
é a constante de integração. Agora precisamos calcular a integral
Passo 7
Vamos calcular
passo a passo usando integração por partes — é um procedimento padrão e vale a pena dominar.
Defina
.
-
Primeiro uso de integração por partes: escolha
e .
Entãoe .
Aplicando partes:Chame a nova integral de. Assim -
Agora calcule
por partes: escolha e .
Entãoe .
Aplicando partes:Mas, logo -
Substituindo
na expressão para : AssimPortantoondeé constante de integração (que será absorvida na constante já presente).
Passo 8
Voltando à expressão obtida no Passo 6, podemos escrever
Esta é a forma integrada da solução; a constante
é a constante arbitrária da solução geral.
Resposta
Classificação: linear de 1ª ordem.
Solução geral: