Para cada uma das equações a seguir:
  • Classifique cada uma delas como sendo separável, homogênea, linear, de Bernoulli ou exata.
  • Determine a solução geral de cada equação diferencial dada.
    Item 5. (2 y-\cos 2 x) d x+d y=0.

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
(2y-\cos 2x)\,dx + dy = 0,
e pede duas coisas:
  • Classificar essa equação entre as opções: separável, homogênea, linear, de Bernoulli ou exata.
  • Determinar a solução geral da equação diferencial.
Informações dadas explicitamente:
  • A equação está escrita em forma diferencial com termos envolvendo dx e dy.
  • Não há imagens nem dados numéricos adicionais.

Passo 2

Vamos primeiro colocar a equação numa forma mais familiar para identificar sua classe. Dividindo por dx (assumindo dx\neq0) obtemos a forma de derivada:
\frac{dy}{dx} = -\bigl(2y-\cos 2x\bigr) = -2y + \cos 2x.
Reescrevendo em forma padrão:
\frac{dy}{dx} + 2y = \cos 2x.
Agora analisamos as possíveis classificações:
  • Se fosse separável, deveríamos conseguir escrever \dfrac{dy}{dx}=f(x)g(y). Aqui a segunda parcela é \cos 2x (função só de x) somada a -2y, então não é um produto f(x)g(y). Portanto NÃO é separável.
  • Se fosse homogênea (no sentido usual de funções homogêneas em x,y), a função do lado direito deveria ser do tipo f(y/x) após rearranjo; aqui há \cos 2x que depende apenas de x, então NÃO é homogênea.
  • Para ser exata, escrita como M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0, com M=2y-\cos2x e N=1, precisaríamos ter \partial M/\partial y=\partial N/\partial x. Calculando, \frac{\partial M}{\partial y}=2,\qquad \frac{\partial N}{\partial x}=0,como são diferentes, a equação NÃO é exata.
  • A equação de Bernoulli tem a forma \dfrac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)y^{n} com n\neq0,1. Aqui temos \dfrac{dy}{dx}+2y=\cos2x, o termo à direita não é da forma q(x)y^{n}, a menos que n=0 (o que reduz ao caso linear). Assim, neste contexto, a classificação mais apropriada e direta é: é uma equação linear de primeira ordem.
Conclusão de classificação: a equação é linear de primeira ordem.

Passo 3

Vou ensinar o método de solução para equações lineares de primeira ordem, de forma bem clara e prática, porque é o que precisamos aqui.
Forma geral da primeira ordem linear não homogênea:
\frac{dy}{dx}+p(x)y = r(x),
onde p(x) e r(x) são funções conhecidas de x. O método padrão usa um fator integrante \mu(x) definido por
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right).
Multiplicando a equação por \mu(x) o lado esquerdo fica exatamente a derivada do produto \mu(x)y:
\mu(x)\frac{dy}{dx}+\mu(x)p(x)y = \frac{d}{dx}\bigl(\mu(x)y\bigr).
Então integra-se ambos os lados em x para obter \mu(x)y, e por fim divide-se por \mu(x) para isolar y. Isso resolve a equação.

Passo 4

Aplicando isso à nossa equação \dfrac{dy}{dx}+2y=\cos2x, identificamos
p(x)=2,\qquad r(x)=\cos2x.
O fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\left(\int 2\,dx\right)=\exp(2x)=e^{2x}.

Passo 5

Multiplicando a equação original por e^{2x} obtemos
e^{2x}\frac{dy}{dx}+2e^{2x}y = e^{2x}\cos 2x.
Pela propriedade do fator integrante, o lado esquerdo é a derivada do produto e^{2x}y:
\frac{d}{dx}\bigl(e^{2x}y\bigr) = e^{2x}\cos 2x.

Passo 6

Integramos ambos os lados em x:
e^{2x}y = \int e^{2x}\cos 2x\,dx + C,
onde C é a constante de integração. Agora precisamos calcular a integral
I=\int e^{2x}\cos 2x\,dx.

Passo 7

Vamos calcular I passo a passo usando integração por partes — é um procedimento padrão e vale a pena dominar.
Defina I=\int e^{2x}\cos 2x\,dx.
  1. Primeiro uso de integração por partes: escolha u=\cos 2x e dv = e^{2x}dx.
    Então du = -2\sin 2x\,dx e v=\tfrac{1}{2}e^{2x}.
    Aplicando partes:
    I = \tfrac{1}{2}e^{2x}\cos 2x - \int \tfrac{1}{2}e^{2x}(-2\sin 2x)\,dx = \tfrac{1}{2}e^{2x}\cos 2x + \int e^{2x}\sin 2x\,dx.
    Chame a nova integral de J=\int e^{2x}\sin 2x\,dx. Assim
    I = \tfrac{1}{2}e^{2x}\cos 2x + J.
  2. Agora calcule J por partes: escolha u=\sin 2x e dv=e^{2x}dx.
    Então du=2\cos 2x\,dx e v=\tfrac{1}{2}e^{2x}.
    Aplicando partes:
    J = \tfrac{1}{2}e^{2x}\sin 2x - \int \tfrac{1}{2}e^{2x}\cdot 2\cos 2x\,dx = \tfrac{1}{2}e^{2x}\sin 2x - \int e^{2x}\cos 2x\,dx.
    Mas \int e^{2x}\cos 2x\,dx = I, logo
    J = \tfrac{1}{2}e^{2x}\sin 2x - I.
  3. Substituindo J na expressão para I:
    I = \tfrac{1}{2}e^{2x}\cos 2x + \left(\tfrac{1}{2}e^{2x}\sin 2x - I\right).
    Assim
    2I = \tfrac{1}{2}e^{2x}(\cos 2x + \sin 2x).
    Portanto
    I = \frac{1}{4}e^{2x}\bigl(\cos 2x + \sin 2x\bigr) + C_1,
    onde C_1 é constante de integração (que será absorvida na constante C já presente).

Passo 8

Voltando à expressão obtida no Passo 6, podemos escrever
e^{2x}y = \frac{1}{4}e^{2x}\bigl(\cos 2x + \sin 2x\bigr) + C.
Esta é a forma integrada da solução; a constante C é a constante arbitrária da solução geral.

Resposta

Classificação: linear de 1ª ordem.
Solução geral: y(x)=\frac{\cos 2x + \sin 2x}{4} + Ce^{-2x}.

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