14-A corrente I(t) em um circuito RLC com fonte de tensão E(t) é regida pelo PVI L I^prime prime(t)+R I^prime(t)+1C I(t)=e(t), I(0)=a, I^prime(0)=b, em que e(t)=E^prime(t). Ache uma fórmula para a solução I(l) em termos de e(l), considerando R=80 Omega, L=10 H, C=1 / 410 F, a=2 A e b=-8 A / s.

Passo 1

O enunciado dá o PVI que rege a corrente I(t) em um circuito RLC com fonte de tensão E(t):
L,I''(t) + R,I'(t) + tfrac1C,I(t) = e(t), I(0)=a,;I'(0)=b,
sendo e(t)=E'(t). Os valores numéricos são
R=80,;L=10,;C=tfrac1410,;a=2,;b=-8
Queremos achar uma fórmula para I(t) em termos de e(t) usando teoria de EDOs lineares de segunda ordem (solução homogênea + particular via convolução).

Passo 2

Primeiro achamos a solução homogênea. A equação característica é
10r^2 + 80r + 410 = 0 Longrightarrow r^2 + 8r + 41 = 0 Longrightarrow r = -4 pm 5i
Logo
Ih(t) = e^-4tl(C1cos(5t)+C2sin(5t)r)

Passo 3

Para a solução particular usamos a representação por convolução (ou transformada de Laplace). O núcleo de resposta ao impulso é
G(t) = L^-1!ltfrac110(s^2+8s+41)r = tfrac150,e^-4tsin(5t)(t>=0)
Então
Ip(t) = integral0^t G(t-s),e(s),ds = 150integral0^t e^-4(t-s)sinl(5(t-s)r),e(s),ds

Passo 4

A solução geral é
I(t) = Ih(t) + Ip(t) = e^-4tl(C1cos5t + C2sin5tr) + 150integral0^t e^-4(t-s)sinl(5(t-s)r)e(s),ds
Aplicando as condições iniciais:
I(0)=C1 = 2,
e como Ip'(0)=0 (porque G(0)=0), temos
I'(0) = -4C1 + 5C2 = b = -8 Longrightarrow -4cdot2 +5C2 = -8 Longrightarrow C2 = 0

Passo 5

Substituindo C1=2 e C2=0, obtemos
I(t) = 2,e^-4tcos(5t) + 150integral0^t e^-4(t-s)sinl(5(t-s)r),e(s),ds

Resposta

I(t) = 2,e^-4tcos(5t) + 150integral0^t e^-4(t-s)sinl(5(t-s)r),e(s),ds

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