13.2 Observando que
\int_{y=0}^{\infty} \mathrm{e}^{-x y} \operatorname{sen}(x) \mathrm{d} y=\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}
mostre analiticamente que
\int_{0}^{\infty} \frac{\operatorname{sen}(x)}{x} \mathrm{~d} x=\frac{\pi}{2}
Sugestão: escreva uma integral dupla, e troque os limites de integração.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\int_{0}^{\infty}\frac{\sin(x)}{x}\,\mathrm{d}x=\frac{\pi}{2},
sabendo que
\int_{0}^{\infty}e^{-x y}\sin(x)\,\mathrm{d}y=\frac{\sin(x)}{x}.
O conteúdo principal é usar integração dupla e trocar a ordem de integração (teorema de Fubini), além de conhecer a integral
\int_{0}^{\infty}e^{-a x}\sin(bx)\,\mathrm{d}x=\frac{b}{a^{2}+b^{2}},\quad a>0,\;b>0.

Passo 2

Definimos
I=\int_{0}^{\infty}\frac{\sin(x)}{x}\,\mathrm{d}x
e usamos a sugestão para reescrever o integrando como integral em y:
\frac{\sin(x)}{x} =\int_{0}^{\infty}e^{-x y}\sin(x)\,\mathrm{d}y.
Logo,
I=\int_{0}^{\infty}\frac{\sin(x)}{x}\,\mathrm{d}x =\int_{0}^{\infty}\Bigl(\int_{0}^{\infty}e^{-x y}\sin(x)\,\mathrm{d}y\Bigr)\mathrm{d}x.

Passo 3

Pelo teorema de Fubini, podemos trocar a ordem de integração (as integrais são convergentes em ordem absoluta):
I=\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}e^{-x y}\sin(x)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y =\int_{0}^{\infty}\Bigl(\int_{0}^{\infty}e^{-x y}\sin(x)\,\mathrm{d}x\Bigr)\mathrm{d}y.

Passo 4

No interior aparece a integral conhecida com a=y e b=1:
\int_{0}^{\infty}e^{-x y}\sin(x)\,\mathrm{d}x =\frac{1}{y^{2}+1}.
Portanto
I=\int_{0}^{\infty}\frac{1}{y^{2}+1}\,\mathrm{d}y.

Passo 5

A integral de \frac{1}{y^{2}+1} de 0 a \infty é o arco-tangente:
I=\Bigl[\arctan(y)\Bigr]_{0}^{\infty} =\frac{\pi}{2}-0 =\frac{\pi}{2}.

Resposta

\int_{0}^{\infty}\frac{\sin(x)}{x}\,\mathrm{d}x=\frac{\pi}{2}.

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