13.4 Obtenha
\int_{-\infty}^{x} H(\xi-a) \operatorname{sen}(\xi) \mathrm{d} \xi
onde H(x) é a função de Heaviside.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral\r
\int_{-\infty}^{x}H(\xi - a)\,\sin(\xi)\,\mathrm{d}\xi\r
onde H é a função de Heaviside. Vamos usar a definição de H e a antiderivada de \sin para resolver isso.

Passo 2

Pela definição de Heaviside,\r
H(\xi - a)= \begin{cases} 0,&\xi < a,\\\\ 1,&\xi > a. \end{cases}\r
Logo, ao integrar de -\infty até x:\r
  • Se x<a, todo o intervalo de integração tem H(\xi - a)=0, então a integral vale zero.\r
  • Se x\ge a, a parte de \xi<a não contribui e começamos a integrar efetivamente em \xi=a.

Passo 3

Para x\ge a temos\r
\int_{-\infty}^{x}H(\xi - a)\,\sin(\xi)\,\mathrm{d}\xi =\int_{a}^{x}\sin(\xi)\,\mathrm{d}\xi.\r
A antiderivada de \sin(\xi) é -\cos(\xi), portanto\r
\int_{a}^{x}\sin(\xi)\,\mathrm{d}\xi =\bigl[-\cos(\xi)\bigr]_{\,\xi=a}^{\,\xi=x} =-\cos(x)-\bigl(-\cos(a)\bigr) =\cos(a)-\cos(x).

Resposta

Para todo x a integral vale\r
\int_{-\infty}^{x}H(\xi - a)\,\sin(\xi)\,\mathrm{d}\xi = \begin{cases} 0,&x<a,\\\ \cos(a)-\cos(x),&x\ge a. \end{cases}

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