13.5 Se
e
são a delta de Dirac e a função de Heaviside, respectivamente, calcule a integral
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de distribuições
onde
é a função de Heaviside e
é a delta de Dirac. Para resolver, vamos usar:
-
é um “ramp” que vale para e para . -
é um ramp igual, mas deslocado em : vale para e para . -
é para e para .
Passo 2
Calculemos
Pela definição de Heaviside,
- Se
, então em todo o intervalo, logo . - Se
, então para a função vale e para vale , portanto
Passo 3
Agora
Como
para
e
para
,
- Se
, então . - Se
, então
Passo 4
Definimos
Juntando os resultados:
- Para
: . - Para
: . - Para
: .
Passo 5
A integral da delta é
Passo 6
Finalmente,
Em cada região de
:
-
- - -
Resposta
Para todo
,