13.5 Se \delta(x) e H(x) são a delta de Dirac e a função de Heaviside, respectivamente, calcule a integral
\int_{\xi=-\infty}^{x}\{[H(\xi)-H(\xi-1)]+\delta(\xi-2)\} \mathrm{d} \xi

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de distribuições
F(x)=\int_{-\infty}^{x}\bigl[H(\xi)-H(\xi-1)+\delta(\xi-2)\bigr]\,\mathrm{d}\xi,
onde H é a função de Heaviside e \delta é a delta de Dirac. Para resolver, vamos usar:
  1. \displaystyle \int_{-\infty}^{x}H(\xi)\,\mathrm{d}\xi é um “ramp” que vale 0 para x<0 e x para x\ge0.
  2. \displaystyle \int_{-\infty}^{x}H(\xi-1)\,\mathrm{d}\xi é um ramp igual, mas deslocado em 1: vale 0 para x<1 e x-1 para x\ge1.
  3. \displaystyle \int_{-\infty}^{x}\delta(\xi-2)\,\mathrm{d}\xi é 0 para x<2 e 1 para x\ge2.

Passo 2

Calculemos
A(x)=\int_{-\infty}^{x}H(\xi)\,\mathrm{d}\xi.
Pela definição de Heaviside,
  • Se x<0, então H(\xi)=0 em todo o intervalo, logo A(x)=0.
  • Se x\ge0, então para \xi<0 a função vale 0 e para 0\le\xi\le x vale 1, portanto
A(x)=\int_{0}^{x}1\,\mathrm{d}\xi = x.

Passo 3

Agora
B(x)=\int_{-\infty}^{x}H(\xi-1)\,\mathrm{d}\xi.
Como H(\xi-1)=0 para \xi<1 e 1 para \xi\ge1,
  • Se x<1, então B(x)=0.
  • Se x\ge1, então
B(x)=\int_{1}^{x}1\,\mathrm{d}\xi = x-1.

Passo 4

Definimos
A(x)-B(x)=\int_{-\infty}^{x}\bigl[H(\xi)-H(\xi-1)\bigr]\mathrm{d}\xi.
Juntando os resultados:
  • Para x<0: A(x)-B(x)=0-0=0.
  • Para 0\le x<1: A(x)-B(x)=x-0=x.
  • Para x\ge1: A(x)-B(x)=x-(x-1)=1.

Passo 5

A integral da delta é
C(x)=\int_{-\infty}^{x}\delta(\xi-2)\,\mathrm{d}\xi \;=\; \begin{cases} 0,&x<2,\\\\ 1,&x\ge2. \end{cases}

Passo 6

Finalmente,
F(x)=\bigl[A(x)-B(x)\bigr]+C(x).
Em cada região de x:
  • x<0:\;F(x)=0+0=0. - 0\le x<1:\;F(x)=x+0=x. - 1\le x<2:\;F(x)=1+0=1. - x\ge2:\;F(x)=1+1=2.

Resposta

Para todo x\in\mathbb{R},
\int_{-\infty}^{x}\{[H(\xi)-H(\xi-1)]+\delta(\xi-2)\}\,\mathrm{d}\xi = \begin{cases} 0, & x<0,\\\ x, & 0\le x<1,\\\\ 1, & 1\le x<2,\\\\ 2, & x\ge2. \end{cases}

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