13 Problema

Considere o paralelepipedo do problema anterior, com as superfícies z=0 e z=c mantidas a um potencial V_{0} enquanto as outras superfícies têm potencial nulo V=0. Encontre o potencial num ponto genérico dentro da caixa.

Passo 1

O enunciado pede o potencial V(x,y,z) dentro de um paralelepípedo
0<x<a,\quad 0<y<b,\quad 0<z<c
em que as faces z=0 e z=c estão mantidas ao potencial constante V_{0} e as quatro faces laterais x=0,a e y=0,b têm potencial zero.
Conteúdo: solução da equação de Laplace \nabla^2 V=0 por separação de variáveis e séries de Fourier duplas.

Passo 2

Pela linearidade de Laplace, escrevemos
V(x,y,z)=V^{(1)}(x,y,z)+V^{(2)}(x,y,z),
onde
  • V^{(1)} satisfaz V^{(1)}(x,y,0)=V_{0}, zero nas demais faces;
  • V^{(2)} satisfaz V^{(2)}(x,y,c)=V_{0}, zero nas demais faces.

Passo 3

Para V^{(1)} fazemos separação em x,y,z e impomos V^{(1)}=0 em x=0,a e y=0,b. O resultado é a série
V^{(1)}(x,y,z) =\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty} B_{mn}\, \sin\!\Bigl(\frac{m\pi x}{a}\Bigr)\, \sin\!\Bigl(\frac{n\pi y}{b}\Bigr)\, \frac{\operatorname{sinh}\!\bigl(\gamma_{mn}(c-z)\bigr)}{\operatorname{sinh}\!\bigl(\gamma_{mn}c\bigr)},
com
\gamma_{mn} =\pi\sqrt{\bigl(\tfrac m a\bigr)^2+\bigl(\tfrac n b\bigr)^2}.

Passo 4

Os coeficientes B_{mn} vêm da expansão de f(x,y)=V^{(1)}(x,y,0)=V_{0} em senos:
B_{mn} =\frac{4}{ab} \int_{0}^{a}\!\!\int_{0}^{b} V_{0}\, \sin\!\Bigl(\tfrac{m\pi x}{a}\Bigr)\, \sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi y}{b}\Bigr) \,dx\,dy =\begin{cases} \dfrac{16\,V_{0}}{mn\pi^{2}},&m,n\text{ ímpares},\\\\ 0,&\text{caso contrário}. \end{cases}íá

Passo 5

Como V^{(2)} tem a mesma forma de V^{(1)} trocando z\to c-z, obtemos
V^{(2)}(x,y,z)=V^{(1)}(x,y,c-z).
Assim o potencial total é
V(x,y,z) =V^{(1)}(x,y,z)+V^{(1)}(x,y,c-z).

Resposta

V(x,y,z) =\frac{16\,V_{0}}{\pi^{2}} \sum_{\substack{m,n=1\m,n\;\text{ímpar}}}^{\infty} \frac{\sin\!\bigl(\tfrac{m\pi x}{a}\bigr)\, \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi y}{b}\bigr)}{mn} \, \frac{\operatorname{sinh}\!\bigl(\gamma_{mn}(c-z)\bigr) +\operatorname{sinh}\!\bigl(\gamma_{mn}z\bigr)} {\operatorname{sinh}\!\bigl(\gamma_{mn}c\bigr)},
onde \gamma_{mn}=\pi\sqrt{(m/a)^2+(n/b)^2}.

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