Determine o efeito de uma mudança na origem das coordenadas nos momentos de dipolo e quadripolo elétricos.

Passo 1

O enunciado pede para estudar como os momentos multipolares elétricos – o momento de dipolo e o momento de quadripolo – se transformam quando mudamos a origem das coordenadas. O conteúdo é a definição desses momentos em termos da densidade de carga \rho(\mathbf{r}) e a regra de mudança de variável \mathbf{r}'=\mathbf{r}-\mathbf{a}, onde \mathbf{a} é o vetor de translação da origem.

Passo 2

Definição do momento de dipolo e transformação sob translação
A definição do momento de dipolo é
\mathbf{p} \;=\;\int \rho(\mathbf{r})\,\mathbf{r}\,d^3r
e o total de carga é
Q \;=\;\int \rho(\mathbf{r})\,d^3r.
Ao mudar a origem segundo \mathbf{r}'=\mathbf{r}-\mathbf{a}, temos
\mathbf{p}' \;=\;\int \rho(\mathbf{r}')\,\mathbf{r}'\,d^3r' =\int \rho(\mathbf{r})\,(\mathbf{r}-\mathbf{a})\,d^3r =\mathbf{p}-Q\,\mathbf{a}.

Passo 3

Definição do momento de quadripolo e transformação sob translação
A definição usual do tensor de quadripolo elétrico é
Q_{ij} \;=\;\int \rho(\mathbf{r})\,\bigl(3x_i x_j - r^2\delta_{ij}\bigr)\,d^3r.
Sob a mesma translação \mathbf{r}'=\mathbf{r}-\mathbf{a}, cada componente fica
\begin{aligned} Q'_{ij} &=\int \rho(\mathbf{r}')\bigl(3x'_i x'_j - r'^2\delta_{ij}\bigr)\,d^3r'\\\ &=Q_{ij} -3\bigl(a_i p_j + a_j p_i\bigr) +2(\mathbf{a}\cdot\mathbf{p})\,\delta_{ij} +3\,Q\,a_i a_j -\,Q\,a^2\,\delta_{ij}. \end{aligned}
Note que \mathbf{p} e Q acima são os valores antes da translação.

Resposta

pográfico eléctrico:
\boxed{\mathbf{p}'=\mathbf{p}-Q\,\mathbf{a}}
quadripolo eléctrico:
\boxed{Q'_{ij} =Q_{ij} -3\bigl(a_i p_j + a_j p_i\bigr) +2(\mathbf{a}\cdot\mathbf{p})\,\delta_{ij} +3\,Q\,a_i a_j -\,Q\,a^2\,\delta_{ij}}

Exercícios relacionados