Uma bola de tênis cai do telhado de um edifício, sem velocidade inicial. Um observador parado na frente de uma janela de 1,20 \mathrm{~m} de altura nota que a bola leva 1 / 8 do segundo para cair desde o alto da janela até sua base. A bola de tênis continua a cair, choca- se elasticamente (a velocidade imediatamente antes do choque e’ de magnitude igual mas de sentido oposto a da imediatamente após o choque) com o chão horizontal e reaparece na parte inferior da janela 3s depois de ter passado naquele ponto de descida. Determine a altura do edifício.
(resposta: 31,7 \mathrm{~m}.)

Passo 1

O enunciado descreve uma bola de tênis que parte do repouso do topo de um edifício e passa por uma janela de altura \,1{,}20\mathrm{~m}, levando \tfrac18\mathrm{~s} para atravessá-la de cima para baixo. Depois disso a bola cai ao chão, choca-se elasticamente (invertendo instantaneamente o sinal da velocidade) e reaparece na parte inferior da mesma janela 3\mathrm{~s} após tê-la ultrapassado em descida. Precisamos aplicar as equações do movimento uniformemente acelerado para as três fases:
  1. Queda atravessando a janela,
  2. Queda de baixo da janela ao chão,
  3. Subida do chão até a parte inferior da janela.
    Nosso objetivo final é achar a altura total H do edifício.

Passo 2

Na descida pelo trecho da janela, a velocidade ao passar pelo alto da janela (vamos chamar de v_1) satisfaz
1{,}20 = v_1\cdot\frac18 + \frac12\,g\Bigl(\frac18\Bigr)^2,
com g=9{,}8\mathrm{~m/s^2}. Assim
v_1 = \frac{1{,}20 - \tfrac12\cdot9{,}8\cdot(0{,}125)^2}{0{,}125} \approx 8{,}99\mathrm{~m/s}.

Passo 3

Ainda na descida, ao passar pela base da janela a velocidade v_2 vale
v_2 = v_1 + g\,\frac18 \approx 8{,}99 + 9{,}8\cdot0{,}125 = 10{,}21\mathrm{~m/s}.

Passo 4

Seja h_1 a altura da base da janela em relação ao chão, e sejam t_1 o tempo de queda de lá até o solo e t_2 o tempo de subida do solo até a mesma base. As equações de movimento são:
h_1 = v_2\,t_1 + \tfrac12\,g\,t_1^2,
h_1 = v_{\rm imp}\,t_2 - \tfrac12\,g\,t_2^2,
t_1 + t_2 = 3,
onde v_{\rm imp} é a velocidade imediatamente antes do choque no chão, ou seja
v_{\rm imp} = v_2 + g\,t_1.

Passo 5

Eliminando v_{\rm imp} e t_2=3 - t_1 das duas primeiras equações obtemos uma equação em t_1. Ao resolver, surgem duas raízes, mas a fisicamente consistente é
t_1 \approx 1{,}50\mathrm{~s},\quad t_2 \approx 1{,}50\mathrm{~s}.
Substituindo em
h_1 = v_2\,t_1 + \tfrac12\,g\,t_1^2
achamos
h_1 \approx 26{,}34\mathrm{~m}.
O topo da janela fica 1{,}20\mathrm{~m} acima disso, e o ponto de partida da bola (o telhado) está uma altura
H_{\rm acima\;da\;janela} = \frac{v_1^2}{2g}\approx \frac{(8{,}99)^2}{2\cdot9{,}8}\approx4{,}12\mathrm{~m}
acima do alto da janela.

Passo 6

Logo, a altura total do edifício é
H = H_{\rm acima\;da\;janela} \;+\;1{,}20\;+\;h_1 \approx 4{,}12 + 1{,}20 + 26{,}34 = 31{,}66\mathrm{~m},
que, arredondando, dá 31{,}7\mathrm{~m}.

Resposta

A altura do edifício é aproximadamente 31{,}7\mathrm{~m}.

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