Determinar o valor de k para que seja LI o conjunto .
19) Determinar k para que seja LD.
Passo 1
No primeiro exercício temos o conjunto de vetores em R^3:
v1 = (-1,0,2), v2 = (1,1,1), v3 = (k,-2,0)
Queremos que eles sejam linearmente independentes, ou seja, que a única solução de
a,v1 + b,v2 + c,v3 = (0,0,0)
seja a=b=c=0. Um critério prático é montar a matriz cujas linhas (ou colunas) são esses vetores e exigir que seu determinante seja diferente de zero.
Passo 2
Montamos a matriz com esses vetores como linhas:
e calculamos
Agora,
Logo,
Para independência linear precisamos de .
Passo 3
No segundo exercício temos três matrizes em :
Elas são linearmente dependentes se existir combinação não trivial
Basta escrever a soma entrada a entrada.
Passo 4
Da combinação aM1 + bM2 + cM3 igual a zero, nas posições:
(1,1): ;a + b +2c =0,
(1,2): ;0cdot a +1cdot b -1cdot c =0;Longrightarrow b - c =0,
(2,1): ;1cdot a +0cdot b + kcdot c =0;Longrightarrow a +k,c=0,
(2,2): 0=0 (sempre satisfatório).
Das duas primeiras equações tiramos b=c e a+3c=0, então a=-3c. Substituindo em a + k,c=0 dá
-3c + k,c = 0 Longrightarrow c,(k-3)=0
Para existir solução não trivial precisamos de cneq0, logo k-3=0.