1.13 Em que situação física podemos dizer que o caminho óptico é
(a) exatamente igual ao comprimento da trajetória descrita pelo raio luminoso?
(b) aproximadamente igual ao comprimento da trajetória descrita pelo raio luminoso?
Passo 1
O enunciado faz duas perguntas claras:
(a) Em que situação física o caminho óptico é exatamente igual ao comprimento da trajetória descrita pelo raio luminoso?
(b) Em que situação física o caminho óptico é aproximadamente igual ao comprimento da trajetória descrita pelo raio luminoso?
Informações implícitas no enunciado que vamos usar:
Existe a noção de “caminho óptico” e de “comprimento da trajetória” (comprimento geométrico do raio).
Não foram dados valores numéricos específicos nem uma precisão exigida — portanto responderemos em termos gerais e dando critérios para quando a igualdade é exata ou apenas aproximada.
Passo 2
Definição matemática do caminho óptico (fórmula e significado das variáveis).
\text{OPL} é o caminho óptico entre os pontos A e B.
n(\mathbf{r}) é o índice de refração do meio no ponto \mathbf{r} por onde passa o raio; o índice mede quanto a velocidade da luz fica reduzida no meio, e é definido por n=\dfrac{c}{v} onde c é a velocidade da luz no vácuo e v é a velocidade da luz no meio.
\mathrm{d}s é um elemento infinitesimal do comprimento geométrico da trajetória do raio.
O comprimento geométrico total da trajetória é
L=\int_{A}^{B}\mathrm{d}s.
Portanto, a diferença entre \text{OPL} e L vem diretamente do fator n(\mathbf r) dentro da integral.
Passo 3
Caso de igualdade exata: condição matemática e interpretação física simples.
Se em todo o trajeto n(\mathbf r)=1, então
Interpretação física: n=1 significa que a velocidade da luz no meio é exatamente c, isto é, o meio é o vácuo. Portanto, no vácuo (ou em qualquer meio cujo índice de refração seja exatamente 1 ao longo de toda a trajetória) o caminho óptico é exatamente igual ao comprimento geométrico do raio.
Passo 4
Outros casos que não dão igualdade exata — uma observação útil.
Se o meio for homogêneo com índice constante n_0 (mas n_0\neq 1), então
ou seja, o caminho óptico é um múltiplo constante do comprimento geométrico; só coincide com L quando n_0=1. Se n variar ao longo do trajeto, em geral \text{OPL}\neq L.
Passo 5
Critério e explicação para quando a igualdade é apenas aproximada.
Escrevendo
é pequeno em relação a L ou em relação à precisão exigida pelo problema. Uma forma prática é ver a diferença relativa média:
\frac{\text{OPL}-L}{L}=\overline{n}-1,
onde \overline{n}=\dfrac{1}{L}\int_{A}^{B} n(\mathbf r)\,\mathrm{d}s é o índice médio ao longo do percurso. Se \overline{n}-1 for muito pequeno (por exemplo, 10^{-4} ou menor, dependendo da precisão desejada), então \text{OPL} e L podem ser tratados como iguais para fins práticos.
Passo 6
Exemplos concretos que ajudam a entender a diferença entre “exato” e “aproximado”.
Vácuo: n=1 exatamente → \text{OPL}=L exatamente.
Ar à pressão e temperatura ambientes: n\approx 1{,}00029. Então \overline{n}-1\approx 2{,}9\times10^{-4}. Para um caminho de L=1\\ \mathrm{m},
Para muita óptica geométrica essa diferença é desprezível; para experimentos de interferência (fase) pode ser significativa.
Regra prática para interferometria: se se quer que a diferença de fase seja pequena comparada a um comprimento de onda \lambda_0 no vácuo, exige-se
\Delta=(\overline{n}-1)L \ll \lambda_0.
Por exemplo, com \lambda_0=500\\ \mathrm{nm}=5\times10^{-7}\\ \mathrm{m} e \overline{n}-1=2{,}9\times10^{-4}, a condição dá L\ll 1{,}7\times10^{-3}\\ \mathrm{m} (aprox. 1{,}7\\ \mathrm{mm}). Ou seja, em ar mesmo trajetos de alguns milímetros já dão diferença de fase não desprezível.
Passo 7
Resumo prático e frases curtas que você pode usar na prova:
Exatidão: dizer que \text{OPL}=L exatamente quando o raio percorre um meio com n(\mathbf r)=1 ao longo de toda a trajetória — isto é, vácuo (ou meios artificialmente feitos com n=1).
Aproximação: dizer que \text{OPL}\approx L quando o índice médio \overline{n} é muito próximo de 1, isto é, \overline{n}-1 é pequeno comparado à precisão exigida; exemplos típicos são ar e gases à pressão ambiente (onde n\approx1{,}0003), ou situações de óptica geométrica onde pequenas diferenças de fase não importam.
Resposta
(a) Quando o raio percorre vácuo (ou, em geral, um meio cujo índice de refração ao longo de toda a trajetória seja \,n(\mathbf r)=1).
(b) Quando o índice médio ao longo da trajetória é muito próximo de 1 (por exemplo, luz no ar ou em gases à pressão ambiente, com n\approx1{,}0003), ou mais formalmente quando \displaystyle\int_A^B\bigl(n(\mathbf r)-1\bigr)\,\mathrm{d}s é negligenciável diante da precisão exigida (para interferência, requer (\overline{n}-1)L\ll\lambda_0).