1.19 Uma onda luminosa possui uma frequência
. Ela penetra em um meio homogêneo cujo índice de refração é igual
.
(a) A frequência muda ou permanece constante?
(b) Se o comprimento de onda no vácuo for igual a
, qual será a expressão da velocidade de propagação da onda neste meio?
(a) A frequência muda ou permanece constante?
(b) Se o comprimento de onda no vácuo for igual a
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
-
Dados do enunciado:
- A onda luminosa tem frequência
. - A onda penetra num meio homogêneo cujo índice de refração é
. - O comprimento de onda no vácuo é
.
- A onda luminosa tem frequência
-
Perguntas que o enunciado faz:
- (a) A frequência muda ou permanece constante ao entrar no meio?
- (b) Se o comprimento de onda no vácuo é
, qual é a expressão da velocidade de propagação da onda neste meio?
Passo 2
Primeiro lembrete essencial (fórmula básica de ondas): a velocidade de uma onda é o produto da sua frequência pelo seu comprimento de onda. Escrevendo isso:
onde:
-
é a velocidade da onda no meio considerado, -
é a frequência (número de oscilações por segundo), -
é o comprimento de onda no meio.
Vou sempre explicar o que significa cada símbolo quando aparecer.
Passo 3
Entendimento físico intuitivo sobre a frequência ao atravessar a fronteira: imagine a superfície entre o vácuo e o meio. Em cada ponto fixo dessa superfície as oscilações precisam “casar” no tempo — a oscilação no lado do vácuo e no lado do meio devem passar pelos mesmos instantes de máxima/mínima naquele ponto. Se a frequência mudasse na passagem, haveria uma descontinuidade temporal no ponto da interface (o ponto veria uma oscilação com uma cadência diferente em cada lado), o que não ocorre para ondas coerentes transmitidas. Por isso, a frequência se conserva ao atravessar a interface.
Passo 4
Consequência direta da argumentação do passo anterior:
Passo 5
Definição do índice de refração e relação com velocidades: o índice de refração
de um meio é definido como a razão entre a velocidade da luz no vácuo
e a velocidade da luz no meio
:
Aqui:
-
é a velocidade da luz no vácuo (valor aproximado ), -
é a velocidade da onda luminosa no meio.
Rearranjando essa definição para isolar
:
Passo 6
Relacionando comprimentos de onda no vácuo e no meio usando que
permanece constante.
No vácuo vale
pois ali a velocidade é
e o comprimento de onda é
.
No meio vale
onde
é o comprimento de onda no meio.
Usando
(do passo anterior) e substituindo:
Como
, podemos substituir
e obter:
Cancelando
(lembrando que
):
Isto mostra que o comprimento de onda diminui no meio por um fator
.
Passo 7
Agora escrevo a velocidade no meio em termos dos dados do enunciado (
e
). Partindo de
e usando
:
Como já mostrado também
, recuperamos a forma clássica
Ambas as formas são equivalentes e úteis dependendo do que for mais conveniente no exercício.
Passo 8
Pequeno exemplo numérico (para fixar a ideia): se
e
, então
e
Isto mostra a aplicação prática sem usar calculadora complexa (escolhi
para facilitar a conta).
Resposta
(a) A frequência permanece constante ao entrar no meio:
.
(b) A velocidade da onda no meio é .
(b) A velocidade da onda no meio é