1.19 Uma onda luminosa possui uma frequência f. Ela penetra em um meio homogêneo cujo índice de refração é igual n.
(a) A frequência muda ou permanece constante?
(b) Se o comprimento de onda no vácuo for igual a \lambda_{0}, qual será a expressão da velocidade de propagação da onda neste meio?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
  • Dados do enunciado:
    • A onda luminosa tem frequência \,f\,.
    • A onda penetra num meio homogêneo cujo índice de refração é \,n\,.
    • O comprimento de onda no vácuo é \,\lambda_{0}\,.
  • Perguntas que o enunciado faz:
    • (a) A frequência muda ou permanece constante ao entrar no meio?
    • (b) Se o comprimento de onda no vácuo é \,\lambda_{0}\,, qual é a expressão da velocidade de propagação da onda neste meio?

Passo 2

Primeiro lembrete essencial (fórmula básica de ondas): a velocidade de uma onda é o produto da sua frequência pelo seu comprimento de onda. Escrevendo isso:
v = f\,\lambda,
onde:
  • \,v\, é a velocidade da onda no meio considerado,
  • \,f\, é a frequência (número de oscilações por segundo),
  • \,\lambda\, é o comprimento de onda no meio.
Vou sempre explicar o que significa cada símbolo quando aparecer.

Passo 3

Entendimento físico intuitivo sobre a frequência ao atravessar a fronteira: imagine a superfície entre o vácuo e o meio. Em cada ponto fixo dessa superfície as oscilações precisam “casar” no tempo — a oscilação no lado do vácuo e no lado do meio devem passar pelos mesmos instantes de máxima/mínima naquele ponto. Se a frequência mudasse na passagem, haveria uma descontinuidade temporal no ponto da interface (o ponto veria uma oscilação com uma cadência diferente em cada lado), o que não ocorre para ondas coerentes transmitidas. Por isso, a frequência se conserva ao atravessar a interface.

Passo 4

Consequência direta da argumentação do passo anterior:
\text{a frequência no meio} = f \quad\text{(é a mesma que no vácuo).}êéá

Passo 5

Definição do índice de refração e relação com velocidades: o índice de refração \,n\, de um meio é definido como a razão entre a velocidade da luz no vácuo \,c\, e a velocidade da luz no meio \,v\,:
n = \frac{c}{v}.
Aqui:
  • \,c\, é a velocidade da luz no vácuo (valor aproximado \,c \approx 3\times 10^{8}\\ \mathrm{m/s}\,),
  • \,v\, é a velocidade da onda luminosa no meio.
Rearranjando essa definição para isolar \,v\,:
v = \frac{c}{n}.

Passo 6

Relacionando comprimentos de onda no vácuo e no meio usando que \,f\, permanece constante.
No vácuo vale
c = f\,\lambda_{0},
pois ali a velocidade é \,c\, e o comprimento de onda é \,\lambda_{0}\,.
No meio vale
v = f\,\lambda,
onde \,\lambda\, é o comprimento de onda no meio.
Usando \,v = \dfrac{c}{n} (do passo anterior) e substituindo:
f\,\lambda = \frac{c}{n}.
Como c = f\,\lambda_{0}, podemos substituir c e obter:
f\,\lambda = \frac{f\,\lambda_{0}}{n}.
Cancelando f (lembrando que f\neq0):
\lambda = \frac{\lambda_{0}}{n}.
Isto mostra que o comprimento de onda diminui no meio por um fator \,n\,.

Passo 7

Agora escrevo a velocidade no meio em termos dos dados do enunciado ( f e \lambda_{0}). Partindo de v = f\,\lambda e usando \lambda = \dfrac{\lambda_{0}}{n}:
v = f\left(\frac{\lambda_{0}}{n}\right) = \frac{f\,\lambda_{0}}{n}.
Como já mostrado também f\,\lambda_{0}=c, recuperamos a forma clássica
v = \frac{c}{n}.
Ambas as formas são equivalentes e úteis dependendo do que for mais conveniente no exercício.

Passo 8

Pequeno exemplo numérico (para fixar a ideia): se \,\lambda_{0}=1{,}0\\ \mathrm{m} e n=2, então \,f=c/\lambda_{0}=3\times10^{8}\\ \mathrm{Hz} e
v=\frac{c}{n}=\frac{3\times10^{8}}{2}=1{,}5\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
Isto mostra a aplicação prática sem usar calculadora complexa (escolhi \lambda_{0}=1\\ \mathrm{m} para facilitar a conta).

Resposta

(a) A frequência permanece constante ao entrar no meio: f.
(b) A velocidade da onda no meio é \displaystyle v=\frac{c}{n}=\frac{f\,\lambda_{0}}{n}.

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