1.20 Um feixe luminoso monocromático no vácuo possui comprimento de onda igual a \lambda_{0}. Obtenha relações:
(a) para a frequência desta onda quando ela se propaga no vácuo

Passo 1

O enunciado nos dá claramente:
  • Um feixe luminoso monocromático no vácuo com comprimento de onda igual a \lambda_{0}.
    O que se pede:
  • Obter uma relação para a frequência dessa onda quando ela se propaga no vácuo.

Passo 2

Vamos lembrar e definir as grandezas que vamos usar (e o significado de cada uma):
  • \lambda : comprimento de onda — distância entre cristas consecutivas da onda (unidade: metro, \mathrm{m}).
  • T : período — tempo que a onda leva para que uma crista percorra uma distância igual a \lambda (unidade: segundo, \mathrm{s}).
  • f : frequência — número de oscilações por segundo; está relacionada ao período por f=\dfrac{1}{T} (unidade: hertz, \mathrm{Hz}).
  • v : velocidade de propagação da onda (unidade: \mathrm{m/s}).
    Essas definições são básicas e importantes: em uma onda periódica, durante um período T a crista avança uma distância \lambda. Portanto a velocidade média de propagação relaciona-se com \lambda e T por
v=\frac{\lambda}{T}.

Passo 3

Usando f=\dfrac{1}{T} na relação anterior, obtemos a fórmula fundamental das ondas que liga velocidade, comprimento de onda e frequência:
v=\lambda\cdot f.
Essa fórmula significa: velocidade = comprimento de onda vezes frequência. É simples de memorizar: se a onda tem maior comprimento de onda e a mesma velocidade, a frequência diminui, e vice-versa.

Passo 4

Agora aplicamos ao caso específico do enunciado: luz no vácuo. A velocidade da luz no vácuo é uma constante universal, que chamamos de c. Logo, para luz no vácuo vale v=c. Substituindo em v=\lambda f e usando o comprimento de onda dado \lambda_{0}, obtemos a frequência \,f da luz no vácuo:
f=\frac{c}{\lambda_{0}}.
Aqui:
  • c é a velocidade da luz no vácuo (aproximadamente c=3\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}),
  • \lambda_{0} é o comprimento de onda no vácuo dado pelo enunciado,
  • f é a frequência resultante (em hertz).

Passo 5

Complemento útil (para a prova): frequentemente também se usa a frequência angular \omega e o número de onda k. Suas definições e as relações com \lambda_{0} e c são:
\omega=2\pi f,\qquad k=\frac{2\pi}{\lambda_{0}}.
Substituindo f=\dfrac{c}{\lambda_{0}} em \omega obtemos
\omega=\frac{2\pi c}{\lambda_{0}},
e aí aparece a relação simples
\omega = c\,k.
Essas formas alternativas são muito usadas em equações de ondas (por exemplo em expressões do tipo \cos(kx-\omega t)) — é bom decorar.

Resposta

f=\dfrac{c}{\lambda_{0}}
\omega=\dfrac{2\pi c}{\lambda_{0}}

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