4.13 Três cargas pontuais idênticas, de 4 pC cada, estão posicionadas nos vértices de um triângulo equilátero de
de lado, no espaço livre. Quanto trabalho deve ser realizado para mover uma carga para um ponto equidistante das outras duas e na linha que as une?
Passo 1
O enunciado pede quanto trabalho deve ser realizado para mover uma das três cargas para um novo ponto. Informações dadas e perguntas claras:
- As três cargas pontuais são idênticas:
. - Estão nos vértices de um triângulo equilátero de lado
. - Vamos mover uma carga até um ponto que é equidistante das outras duas e que está sobre a linha que une essas duas — isto é, até o ponto médio do segmento que une as duas cargas fixas.
- Pergunta: qual o trabalho (energia) que deve ser realizado por um agente externo para efetuar essa mudança de posição?
Passo 2
Interpretação geométrica do movimento (onde a carga vai ficar):
- Label: chamemos as cargas inicialmente em
, e , com e formando um lado do triângulo e o vértice oposto. - O ponto equidistante de
e que está na linha que as une é o ponto médio de . - Distâncias relevantes:
(Peguei do enunciado; é o ponto médio.)
Passo 3
Princípio físico que vamos usar (explicação didática):
- Para um conjunto de cargas pontuais, a energia potencial elétrica do sistema é a soma das energias de interação par a par.
- Fórmula: a energia potencial total é
onde são as cargas e a distância entre elas. Explico: cada par de cargas contribui com energia ; somamos apenas para para não contar pares duas vezes. - Se o movimento é feito lentamente (quase-estático) e sem troca de energia cinética, o trabalho realizado pelo agente externo é igual à variação da energia potencial do sistema:
Explicação: o agente externo deve fornecer a diferença de energia necessária para alterar as interações eletrostáticas.
Passo 4
Calcular a energia inicial
:
- Todas as três distâncias entre pares são iguais a
(triângulo equilátero), e temos três pares. Com cargas iguais : - Aqui
e (valores do enunciado).
Passo 5
Calcular a energia final
quando movemos a carga de
para
:
- Após a movimentação temos cargas em
, e . Distâncias entre pares: - Então
- Simplificando
, obtemos
Passo 6
Calcular a variação de energia
e a expressão do trabalho:
- Subtraindo,
- Logo o trabalho que precisa ser realizado pelo agente externo é
Observação física: , então é necessário fornecer energia (o agente externo faz trabalho positivo).
Passo 7
Substituir valores numéricos (passo a passo):
- Convertendo unidades para SI:
- A constante eletrostática é
. - Calcule
: - Agora calcule o numerador
: - Divida por
: - Multiplique por
: Calcule o produto:
Passo 8
Arredondamento e apresentação do resultado em unidades convenientes:
- Arredondando para três algarismos significativos:
- Em unidades alternativas:
.