4.13 Três cargas pontuais idênticas, de 4 pC cada, estão posicionadas nos vértices de um triângulo equilátero de 0,5 \mathrm{~mm} de lado, no espaço livre. Quanto trabalho deve ser realizado para mover uma carga para um ponto equidistante das outras duas e na linha que as une?

Passo 1

O enunciado pede quanto trabalho deve ser realizado para mover uma das três cargas para um novo ponto. Informações dadas e perguntas claras:
  • As três cargas pontuais são idênticas: \,q=4\\ \mathrm{pC}.
  • Estão nos vértices de um triângulo equilátero de lado \,a=0,5\\ \mathrm{mm}.
  • Vamos mover uma carga até um ponto que é equidistante das outras duas e que está sobre a linha que une essas duas — isto é, até o ponto médio do segmento que une as duas cargas fixas.
  • Pergunta: qual o trabalho (energia) que deve ser realizado por um agente externo para efetuar essa mudança de posição?

Passo 2

Interpretação geométrica do movimento (onde a carga vai ficar):
  • Label: chamemos as cargas inicialmente em A, B e C, com A e B formando um lado do triângulo e C o vértice oposto.
  • O ponto equidistante de A e B que está na linha que as une é o ponto médio M de AB.
  • Distâncias relevantes: AB=a,\qquad AM=BM=\frac{a}{2},\qquad AC=BC=a.(Peguei AB=a do enunciado; M é o ponto médio.)

Passo 3

Princípio físico que vamos usar (explicação didática):
  • Para um conjunto de cargas pontuais, a energia potencial elétrica do sistema é a soma das energias de interação par a par.
  • Fórmula: a energia potencial total é U=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{i<j}\frac{q_i q_j}{r_{ij}},onde \,q_i,q_j são as cargas e \,r_{ij} a distância entre elas. Explico: cada par de cargas contribui com energia \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_i q_j}{r_{ij}}; somamos apenas para i<j para não contar pares duas vezes.
  • Se o movimento é feito lentamente (quase-estático) e sem troca de energia cinética, o trabalho realizado pelo agente externo é igual à variação da energia potencial do sistema: W=\Delta U=U_\text{final}-U_\text{inicial}.Explicação: o agente externo deve fornecer a diferença de energia necessária para alterar as interações eletrostáticas.

Passo 4

Calcular a energia inicial U_\text{inicial}:
  • Todas as três distâncias entre pares são iguais a a (triângulo equilátero), e temos três pares. Com cargas iguais q: U_\text{inicial}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{q^2}{a}+\frac{q^2}{a}+\frac{q^2}{a}\right) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{3q^2}{a}.
  • Aqui \,q=4\\ \mathrm{pC} e \,a=0,5\\ \mathrm{mm} (valores do enunciado).

Passo 5

Calcular a energia final U_\text{final} quando movemos a carga de C para M:
  • Após a movimentação temos cargas em A, B e M. Distâncias entre pares: r_{AB}=a,\qquad r_{AM}=\frac{a}{2},\qquad r_{BM}=\frac{a}{2}.
  • Então U_\text{final}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{q^2}{r_{AB}}+\frac{q^2}{r_{AM}}+\frac{q^2}{r_{BM}}\right) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{q^2}{a}+\frac{q^2}{a/2}+\frac{q^2}{a/2}\right).
  • Simplificando \frac{1}{a/2}=\frac{2}{a}, obtemos U_\text{final}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{q^2}{a}+2\cdot\frac{2q^2}{a}\right) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{5q^2}{a}.

Passo 6

Calcular a variação de energia \Delta U e a expressão do trabalho:
  • Subtraindo, \Delta U=U_\text{final}-U_\text{inicial} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{5q^2}{a}-\frac{3q^2}{a}\right) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{2q^2}{a}.
  • Logo o trabalho que precisa ser realizado pelo agente externo é W=\Delta U=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{2q^2}{a}.Observação física: \Delta U>0, então é necessário fornecer energia (o agente externo faz trabalho positivo).

Passo 7

Substituir valores numéricos (passo a passo):
  • Convertendo unidades para SI: q=4\\ \mathrm{pC}=4\times10^{-12}\\ \mathrm{C}, \qquad a=0,5\\ \mathrm{mm}=0,5\times10^{-3}\\ \mathrm{m}=5\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
  • A constante eletrostática é \displaystyle\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}=k\approx8,988\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^2/C^2}.
  • Calcule q^2: q^2=(4\times10^{-12})^2=16\times10^{-24}=1,6\times10^{-23}\\ \mathrm{C^2}.
  • Agora calcule o numerador 2q^2: 2q^2=2\cdot1,6\times10^{-23}=3,2\times10^{-23}\\ \mathrm{C^2}.
  • Divida por a: \frac{2q^2}{a}=\frac{3,2\times10^{-23}}{5\times10^{-4}} =\frac{3,2}{5}\times10^{-23+4}=0,64\times10^{-19}=6,4\times10^{-20}\\ \mathrm{C^2/m}.
  • Multiplique por k: W=k\cdot\frac{2q^2}{a}\approx(8,988\times10^{9})\cdot(6,4\times10^{-20}).Calcule o produto: W\approx8,988\times6,4\times10^{9-20}=57,5232\times10^{-11}=5,75232\times10^{-10}\\ \mathrm{J}.

Passo 8

Arredondamento e apresentação do resultado em unidades convenientes:
  • Arredondando para três algarismos significativos: W\approx5,75\times10^{-10}\\ \mathrm{J}.
  • Em unidades alternativas: W\approx0,575\\ \mathrm{nJ}=575\\ \mathrm{pJ}.

Resposta

5,75\times10^{-10}\\ \mathrm{J}

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