Questão 2 - Um dipolo \overrightarrow{\boldsymbol{p}}=q a \hat{\boldsymbol{z}}, com carga efetiva q e tamanho a, oscila no vácuo, na origem de coordenadas. A média, no tempo, do vetor de Poynting da radiação gerada é, para distâncias r e comprimentos de onda \lambda, tais que a \ll \lambda \ll r, dada por
\langle\overrightarrow{\boldsymbol{S}}\rangle=\frac{p^{2} k^{4} \sin ^{2} \theta}{32 \pi^{2} c \mu_{0} \epsilon_{0}^{2}} \frac{\overrightarrow{\boldsymbol{r}}}{r^{3}}
onde \mu_{0} e \epsilon_{0} são as constantes magnética e elétrica do vácuo, \theta, \varphi e r são coordenadas esféricas, k é o módulo do vetor de onda e c é a velocidade da luz no vácuo.
(a) Calcule a potência média total irradiada pelo dipolo, P_{\text {tot }}. (VALOR MÁXIMO: 2.5 pontos)
(b) Calcule a porcentagem que a potência média irradiada “perpendicularmente” ao dipolo representa da total. Considere a radiação emitida na faixa \pi / 6 \leq \theta \leq 5 \pi / 6 como definindo o termo “perpendicularmente”. (VALOR MÁXIMO: 2.5 pontos)
Passo 1
Enunciado e dados importantes (tudo que é dado e o que se pede):
\langle\overrightarrow{\boldsymbol{S}}\rangle=\frac{p^{2} k^{4} \sin^{2}\theta}{32\pi^{2} c \mu_{0} \epsilon_{0}^{2}}\,\frac{\overrightarrow{\boldsymbol{r}}}{r^{3}}
Dados relevantes extraídos do enunciado:
O dipolo tem momento elétrico de módulo p=q a.
Coordenadas esféricas \theta,\varphi,r estão sendo usadas.
Condição de regime de radiação: a\ll\lambda\ll r (importante para a forma dada de \langle\overrightarrow{\boldsymbol{S}}\rangle).
Perguntas pedidas:
(a) Calcular a potência média total irradiada pelo dipolo, P_{\text{tot}}.
(b) Calcular a porcentagem da potência média irradiada “perpendicularmente” ao dipolo, onde “perpendicularmente” é tomada como a faixa angular \pi/6\le\theta\le5\pi/6. A porcentagem pedida é 100\times P_{\text{faixa}}/P_{\text{tot}}.
Passo 2
Estratégia matemática para (a) (sem calcular ainda): a potência média total irradiada é o fluxo do vetor de Poynting através de uma superfície esférica de raio r centrada na origem. Matematicamente,
d\overrightarrow{\boldsymbol{A}}=\hat{\boldsymbol{r}}\,r^{2}d\Omega, onde d\Omega=\sin\theta\,d\theta\,d\varphi é o elemento sólido.
A componente radial de \langle\overrightarrow{\boldsymbol{S}}\rangle é \langle S_{r}\rangle=\langle\overrightarrow{\boldsymbol{S}}\rangle\cdot\hat{\boldsymbol{r}}.
A ideia: substituir \langle\overrightarrow{\boldsymbol{S}}\rangle na integral e usar que \dfrac{\overrightarrow{\boldsymbol{r}}}{r^{3}}=\dfrac{\hat{\boldsymbol{r}}}{r^{2}}, de modo que o fator r^{2} do elemento de área cancela o 1/r^{2} de \langle S_{r}\rangle, resultando numa integral apenas sobre ângulos.
Passo 3
Montando a integral e isolando a constante angular:
defina a constante
C=\frac{p^{2} k^{4}}{32\pi^{2} c \mu_{0} \epsilon_{0}^{2}}.
Então, usando \langle S_{r}\rangle = C\frac{\sin^{2}\theta}{r^{2}} e dA=r^{2}d\Omega,
Calcule a integral em \theta. Use a substituição u=\cos\theta, então du=-\sin\theta\,d\theta. Note que \sin^{3}\theta=\sin\theta(1-\cos^{2}\theta). Assim
P_{\text{tot}}=\frac{p^{2} k^{4}}{32\pi^{2} c \mu_{0} \epsilon_{0}^{2}}\cdot\frac{8\pi}{3} =\frac{p^{2} k^{4}}{12\pi c \mu_{0} \epsilon_{0}^{2}}.
Opcionalmente, usando p=q a,
P_{\text{tot}}=\frac{q^{2} a^{2} k^{4}}{12\pi c \mu_{0} \epsilon_{0}^{2}}.
Passo 5
Agora parte (b): potência irradiada na faixa \pi/6\le\theta\le 5\pi/6.
Montamos a integral análoga, com os mesmos passos que antes, só que os limites em \theta mudam: