Questão 2 - Um dipolo \overrightarrow{\boldsymbol{p}}=q a \hat{\boldsymbol{z}}, com carga efetiva q e tamanho a, oscila no vácuo, na origem de coordenadas. A média, no tempo, do vetor de Poynting da radiação gerada é, para distâncias r e comprimentos de onda \lambda, tais que a \ll \lambda \ll r, dada por
\langle\overrightarrow{\boldsymbol{S}}\rangle=\frac{p^{2} k^{4} \sin ^{2} \theta}{32 \pi^{2} c \mu_{0} \epsilon_{0}^{2}} \frac{\overrightarrow{\boldsymbol{r}}}{r^{3}}
onde \mu_{0} e \epsilon_{0} são as constantes magnética e elétrica do vácuo, \theta, \varphi e r são coordenadas esféricas, k é o módulo do vetor de onda e c é a velocidade da luz no vácuo.
(a) Calcule a potência média total irradiada pelo dipolo, P_{\text {tot }}. (VALOR MÁXIMO: 2.5 pontos)
(b) Calcule a porcentagem que a potência média irradiada “perpendicularmente” ao dipolo representa da total. Considere a radiação emitida na faixa \pi / 6 \leq \theta \leq 5 \pi / 6 como definindo o termo “perpendicularmente”. (VALOR MÁXIMO: 2.5 pontos)

Passo 1

Enunciado e dados importantes (tudo que é dado e o que se pede):
\langle\overrightarrow{\boldsymbol{S}}\rangle=\frac{p^{2} k^{4} \sin^{2}\theta}{32\pi^{2} c \mu_{0} \epsilon_{0}^{2}}\,\frac{\overrightarrow{\boldsymbol{r}}}{r^{3}}
Dados relevantes extraídos do enunciado:
  • O dipolo tem momento elétrico de módulo p=q a.
  • Coordenadas esféricas \theta,\varphi,r estão sendo usadas.
  • Condição de regime de radiação: a\ll\lambda\ll r (importante para a forma dada de \langle\overrightarrow{\boldsymbol{S}}\rangle).
    Perguntas pedidas:
    (a) Calcular a potência média total irradiada pelo dipolo, P_{\text{tot}}.
    (b) Calcular a porcentagem da potência média irradiada “perpendicularmente” ao dipolo, onde “perpendicularmente” é tomada como a faixa angular \pi/6\le\theta\le5\pi/6. A porcentagem pedida é 100\times P_{\text{faixa}}/P_{\text{tot}}.

Passo 2

Estratégia matemática para (a) (sem calcular ainda): a potência média total irradiada é o fluxo do vetor de Poynting através de uma superfície esférica de raio r centrada na origem. Matematicamente,
P_{\text{tot}}=\oint_{\text{esfera}} \langle\overrightarrow{\boldsymbol{S}}\rangle\cdot d\overrightarrow{\boldsymbol{A}}.
Explicando as grandezas:
  • d\overrightarrow{\boldsymbol{A}}=\hat{\boldsymbol{r}}\,r^{2}d\Omega, onde d\Omega=\sin\theta\,d\theta\,d\varphi é o elemento sólido.
  • A componente radial de \langle\overrightarrow{\boldsymbol{S}}\rangle é \langle S_{r}\rangle=\langle\overrightarrow{\boldsymbol{S}}\rangle\cdot\hat{\boldsymbol{r}}.
    A ideia: substituir \langle\overrightarrow{\boldsymbol{S}}\rangle na integral e usar que \dfrac{\overrightarrow{\boldsymbol{r}}}{r^{3}}=\dfrac{\hat{\boldsymbol{r}}}{r^{2}}, de modo que o fator r^{2} do elemento de área cancela o 1/r^{2} de \langle S_{r}\rangle, resultando numa integral apenas sobre ângulos.

Passo 3

Montando a integral e isolando a constante angular:
defina a constante
C=\frac{p^{2} k^{4}}{32\pi^{2} c \mu_{0} \epsilon_{0}^{2}}.
Então, usando \langle S_{r}\rangle = C\frac{\sin^{2}\theta}{r^{2}} e dA=r^{2}d\Omega,
P_{\text{tot}}=\oint \langle S_{r}\rangle\,dA = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi} C\,\sin^{2}\theta\,d\Omega = C\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi} \sin^{2}\theta\,\sin\theta\,d\theta\,d\varphi.
Portanto a integral angular reduz-se a
P_{\text{tot}}=C\left(\int_{0}^{2\pi} d\varphi\right)\left(\int_{0}^{\pi}\sin^{3}\theta\,d\theta\right).

Passo 4

Calcule a integral em \theta. Use a substituição u=\cos\theta, então du=-\sin\theta\,d\theta. Note que \sin^{3}\theta=\sin\theta(1-\cos^{2}\theta). Assim
\int_{0}^{\pi}\sin^{3}\theta\,d\theta =\int_{0}^{\pi}\sin\theta(1-\cos^{2}\theta)\,d\theta =\int_{u=1}^{u=-1} (1-u^{2})(-du) =\int_{-1}^{1}(1-u^{2})\,du.
Agora calcule explicitamente:
\int_{-1}^{1}(1-u^{2})\,du=\left[u-\frac{u^{3}}{3}\right]_{-1}^{1} =\left(1-\frac{1}{3}\right)-\left(-1+\frac{1}{3}\right)=\frac{4}{3}.
E a integral em \varphi é simplesmente 2\pi. Portanto
P_{\text{tot}}=C\cdot 2\pi\cdot \frac{4}{3} = C\cdot \frac{8\pi}{3}.
Substituindo C:
P_{\text{tot}}=\frac{p^{2} k^{4}}{32\pi^{2} c \mu_{0} \epsilon_{0}^{2}}\cdot\frac{8\pi}{3} =\frac{p^{2} k^{4}}{12\pi c \mu_{0} \epsilon_{0}^{2}}.
Opcionalmente, usando p=q a,
P_{\text{tot}}=\frac{q^{2} a^{2} k^{4}}{12\pi c \mu_{0} \epsilon_{0}^{2}}.

Passo 5

Agora parte (b): potência irradiada na faixa \pi/6\le\theta\le 5\pi/6.
Montamos a integral análoga, com os mesmos passos que antes, só que os limites em \theta mudam:
P_{\text{faixa}}=C\int_{0}^{2\pi}d\varphi\int_{\pi/6}^{5\pi/6}\sin^{3}\theta\,d\theta =2\pi C\int_{\pi/6}^{5\pi/6}\sin^{3}\theta\,d\theta.
Usaremos a primitiva já obtida (outra forma): como antes, uma primitiva útil é
\int \sin^{3}\theta\,d\theta=\frac{\cos^{3}\theta}{3}-\cos\theta + \text{const},
porque derivando essa expressão recuperamos \sin^{3}\theta (pode ser verificado rapidamente).

Passo 6

Avalie a integral definida:
\int_{\pi/6}^{5\pi/6}\sin^{3}\theta\,d\theta =\left[\frac{\cos^{3}\theta}{3}-\cos\theta\right]_{\pi/6}^{5\pi/6}.
Calculemos os cossenos:
\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}.
Então
\left.\frac{\cos^{3}\theta}{3}-\cos\theta\right|_{\pi/6}^{5\pi/6} =\left(\frac{\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{3}}{3}-\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right) -\left(\frac{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{3}}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right).
Simplificando cada termo ( \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{3}=\frac{3\sqrt{3}}{8}):
=\left(-\frac{3\sqrt{3}}{8\cdot 3}+\frac{\sqrt{3}}{2}\right) -\left(\frac{3\sqrt{3}}{8\cdot 3}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) =\left(-\frac{\sqrt{3}}{8}+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)-\left(\frac{\sqrt{3}}{8}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right).
Agrupando:
=\frac{3\sqrt{3}}{8} -\left(-\frac{3\sqrt{3}}{8}\right)=\frac{6\sqrt{3}}{8}=\frac{3\sqrt{3}}{4}.
Portanto
P_{\text{faixa}}=2\pi C\cdot \frac{3\sqrt{3}}{4} = C\cdot \frac{3\pi\sqrt{3}}{2}.

Passo 7

Calcule a fração e a porcentagem:
\frac{P_{\text{faixa}}}{P_{\text{tot}}} =\frac{C\cdot \frac{3\pi\sqrt{3}}{2}}{C\cdot \frac{8\pi}{3}} =\frac{\frac{3\pi\sqrt{3}}{2}}{\frac{8\pi}{3}} =\frac{3\pi\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{3}{8\pi} =\frac{9\sqrt{3}}{16}.
Isto é a fração exata da potência total que cai na faixa \pi/6\le\theta\le5\pi/6. Em porcentagem:
100\times\frac{9\sqrt{3}}{16}\approx 100\times 0,974278\ldots \approx 97,43\%.

Resposta

P_{\text{tot}}=\dfrac{p^{2} k^{4}}{12\pi c \mu_{0} \epsilon_{0}^{2}}=\dfrac{q^{2} a^{2} k^{4}}{12\pi c \mu_{0} \epsilon_{0}^{2}}\n
\displaystyle \frac{P_{\text{faixa}}}{P_{\text{tot}}}=\frac{9\sqrt{3}}{16}\approx 0,9743\Rightarrow 97,43\%

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