Ítem 1: Para os movimentos bidimensionais no plano ( underline{\mathrm{x}, \mathrm{y}} ), descritos por:
a) u=y \quad e \quad v=x;
Calcule o divergente e o rotacional do vetor velocidade

Passo 1

O enunciado dá um campo de velocidade bidimensional \mathbf{V}(x,y) = (u,v) no plano (x,y), com
u = y, \quad v = x.
Queremos calcular o divergente e o rotacional (componente z) desse campo. Para isso, vamos usar as definições
\nabla\cdot \mathbf{V} = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y},
(\nabla\times \mathbf{V})_z = \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}.

Passo 2

Calcular o divergente:
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial (y)}{\partial x} = 0, \qquad \frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial (x)}{\partial y} = 0.
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\nabla\cdot \mathbf{V} = 0 + 0 = 0.

Passo 3

Calcular o rotacional (componente z):
\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial (x)}{\partial x} = 1, \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial (y)}{\partial y} = 1.
Portanto
(\nabla\times \mathbf{V})_z = 1 - 1 = 0.

Resposta

Divergente = 0
Rotacional (componente z) = 0

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