2.13 Se v=R I / F para um gás ideal, qual é a equação semelhante para os líquidos?

Passo 1

O enunciado dá a relação para um gás ideal
v=\frac{R I}{F}
e pergunta qual é a equação semelhante para os líquidos.
Informações claras extraídas do enunciado (usando notação dada):
  • v é o volume específico (por exemplo volume molar).
  • R é a constante dos gases ideais.
  • I corresponde à temperatura (equivalente a T).
  • F corresponde à pressão (equivalente a p).
    O que se pede: uma expressão que relacione v, temperatura e pressão para líquidos, como a equação de estado simples do gás ideal \displaystyle v=\frac{R I}{F}.

Passo 2

Por que não existe uma fórmula tão simples quanto \displaystyle v=\frac{R T}{p} para líquidos?
Explicando devagar: no gás ideal as moléculas interagem desprezivelmente, e a equação de estado dá v diretamente em função de T e p. Em líquidos as interações são fortes e o volume depende de T e p de forma mais complicada. A abordagem prática é partir da dependência funcional
v=v(T,p),
e trabalhar com diferenciais/taxas de variação para obter uma fórmula útil.

Passo 3

Escrevendo o diferencial total de v(T,p):
\mathrm{d}v=\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_{p}\mathrm{d}T+\left(\frac{\partial v}{\partial p}\right)_{T}\mathrm{d}p.
Agora introduzimos duas grandezas termodinâmicas importantes que medem como o volume muda com T e p:
Definições:
\alpha \equiv \frac{1}{v}\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_{p}\quad\text{(coeficiente de dilatação térmica)},çãé
\kappa_{T} \equiv -\frac{1}{v}\left(\frac{\partial v}{\partial p}\right)_{T}\quad\text{(compressibilidade isotérmica)}.é
Explicação intuitiva: \alpha mede a fração de variação do volume por variação de temperatura à pressão fixa; \kappa_T mede a fração de variação do volume por variação de pressão à temperatura fixa (o sinal menos faz \kappa_T positivo porque aumento de p normalmente diminui v).

Passo 4

Reescrevendo o diferencial usando \alpha e \kappa_T. Substituindo nas derivadas:
\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_{p}=v\alpha,\qquad \left(\frac{\partial v}{\partial p}\right)_{T}=-v\kappa_{T}.
Logo
\mathrm{d}v=v\alpha\,\mathrm{d}T - v\kappa_{T}\,\mathrm{d}p.
Dividindo por v obtemos uma forma muito prática:
\frac{\mathrm{d}v}{v}=\alpha\,\mathrm{d}T - \kappa_{T}\,\mathrm{d}p.

Passo 5

Integrando entre um estado de referência (T_{0},p_{0}) e o estado (T,p) obtemos a expressão geral (exata, desde que se conheçam as funções \alpha(T,p) e \kappa_T(T,p)):
\ln\!\frac{v(T,p)}{v(T_{0},p_{0})}=\int_{T_{0}}^{T}\alpha(T',p')\,\mathrm{d}T' - \int_{p_{0}}^{p}\kappa_{T}(T',p')\,\mathrm{d}p'.
Ou, exponenciando,
v(T,p)=v(T_{0},p_{0})\exp\!\left(\int_{T_{0}}^{T}\alpha(T',p')\,\mathrm{d}T' - \int_{p_{0}}^{p}\kappa_{T}(T',p')\,\mathrm{d}p'\right).
Esta é a forma análoga para líquidos: não é uma relação simples algébrica única, mas uma lei que envolve \alpha e \kappa_T.

Passo 6

Forma aproximada (útil na prova): para variações pequenas e se \alpha e \kappa_T forem aproximadamente constantes entre os estados, linearizamos a exponencial:
v\approx v_{0}\bigl[1+\alpha\,(T-T_{0})-\kappa_{T}\,(p-p_{0})\bigr],
onde v_{0}=v(T_{0},p_{0}). Esta fórmula é muito prática: mostra que o volume de um líquido cresce quase linearmente com T e decresce pouco com p (porque geralmente \kappa_T é pequeno para líquidos).

Passo 7

Interpretação prática e dica para prova: ao responder “qual é a equação semelhante?”, o correto é apresentar a relação diferencial com \alpha e \kappa_T e sua integração. Se a prova pede uma forma simples para estimativas, forneça a aproximação linear. Sempre defina \alpha e \kappa_T e diga quando a aproximação é válida (pequenas variações, quase constantes).

Resposta

v(T,p)=v(T_{0},p_{0})\exp\!\left(\int_{T_{0}}^{T}\alpha(T',p')\,\mathrm{d}T' - \int_{p_{0}}^{p}\kappa_{T}(T',p')\,\mathrm{d}p'\right)
v\approx v_{0}\bigl[1+\alpha\,(T-T_{0})-\kappa_{T}\,(p-p_{0})\bigr]

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