1. Dois vetores de intensidade a e b formam um ângulo \theta entre eles quando medidos a partir de sua extremidade inferior. Prove, considerando componentes ao longo de dois eixos perpendiculares, que a intensidade da soma é
r=\sqrt{a^{2}+b^{2}+2 a b \cos \theta}

Passo 1

O enunciado nos dá duas grandezas vetoriais com as seguintes informações:
  • Dois vetores têm magnitudes \,a e \,b.
  • O ângulo entre eles, medido a partir da extremidade inferior comum (ou seja, a partir das direções de suas caudas), é \,\theta.
    O que o enunciado pede:
  • Mostrar que a magnitude da soma desses dois vetores (chamada aqui de \,r) satisfaz a relação
r=\sqrt{a^{2}+b^{2}+2 a b \cos \theta}.
Lista das informações relevantes (o que sabemos e podemos usar sem resolver ainda):
  • Podemos escolher um sistema de eixos ortogonais arbitrário para decompor vetores.
  • A definição trigonométrica básica em um triângulo retângulo: cosseno é razão entre cateto adjacente e a hipotenusa, seno é razão entre cateto oposto e a hipotenusa.
  • Teorema de Pitágoras para obter a magnitude de um vetor a partir de suas componentes ortogonais.
  • A identidade trigonométrica \cos^{2}\varphi+\sin^{2}\varphi=1.

Passo 2

Escolher um sistema de referência simples para facilitar a conta.
  • Coloco o vetor de magnitude \,a apontando ao longo do eixo x positivo. Assim, escrevo a componente do primeiro vetor como
\vec{a} = (a,\,0).
Explicação didática: isso é permitido porque nenhum eixo é preferido — podemos alinhar um dos vetores com o eixo x sem perda de generalidade. Isso simplifica a decomposição do outro vetor.

Passo 3

Decompor o vetor de magnitude \,b em componentes ortogonais.
  • Como o ângulo entre os vetores é \,\theta, a componente de \vec{b} ao longo do eixo x (adjacente ao ângulo) é \,b\cos\theta.
  • A componente ao longo do eixo y (oposta ao ângulo) é \,b\sin\theta.
    Portanto
\vec{b} = (b\cos\theta,\; b\sin\theta).
Breve justificativa didática: num triângulo retângulo formado pela projeção de \vec{b} sobre os eixos, a hipotenusa vale \,b, o cateto adjacente é \,b\cos\theta e o cateto oposto é \,b\sin\theta por definição das funções trigonométricas.

Passo 4

Somar as componentes para obter o vetor resultante.
  • Soma componente a componente:
\vec{r}=\vec{a}+\vec{b} = \bigl(a + b\cos\theta,\; 0 + b\sin\theta\bigr).
  • Assim as componentes do vetor soma são
r_x = a + b\cos\theta,\qquad r_y = b\sin\theta.
Explicação didática: a adição vetorial em coordenadas cartesianas é feita somando as componentes correspondentes; isso transforma um problema vetorial em contas escalares simples.

Passo 5

Usar o teorema de Pitágoras para escrever o quadrado da magnitude do vetor soma.
  • A magnitude ao quadrado é a soma dos quadrados das componentes (pois os eixos são perpendiculares):
r^{2} = r_x^{2} + r_y^{2}.
  • Substituindo r_x e r_y obtemos
r^{2} = \bigl(a + b\cos\theta\bigr)^{2} + \bigl(b\sin\theta\bigr)^{2}.

Passo 6

Desenvolver a expressão e simplificar usando identidade trigonométrica.
  • Expandindo o primeiro quadrado e o segundo termo:
r^{2} = a^{2} + 2ab\cos\theta + b^{2}\cos^{2}\theta + b^{2}\sin^{2}\theta.
  • Agrupando os termos com b^{2} e usando \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1:
r^{2} = a^{2} + 2ab\cos\theta + b^{2}\bigl(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta\bigr) = a^{2} + 2ab\cos\theta + b^{2}.
Portanto chegamos à relação para o quadrado do módulo:
r^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab\cos\theta.

Passo 7

Observar o passo final lógico para obter a magnitude e checar consistência.
  • A magnitude \,r é o lado positivo da raiz quadrada de \,r^{2}. Tomando a raiz quadrada positiva (pois magnitude é não negativa) obtemos a expressão desejada.
  • Checagens rápidas de consistência (intuição): se \theta=0 então \cos\theta=1 e a fórmula reduz a (a+b)^{2} para r^{2}, logo r=a+b (vetores em mesma direção). Se \theta=\pi então \cos\theta=-1 e a fórmula reduz a (a-b)^{2}, logo r=|a-b| (direções opostas). Essas verificações mostram que a fórmula tem o comportamento esperado.

Passo 8

Comentário extra (método alternativo curto).
  • Outra forma elegante é usar o produto escalar: \,r^{2}=\vec{r}\cdot\vec{r}=(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}+\vec{b})=a^{2}+b^{2}+2\vec{a}\cdot\vec{b}, e como \vec{a}\cdot\vec{b}=ab\cos\theta chega-se à mesma expressão para \,r^{2}. Isto é útil quando já se conhece o conceito de produto escalar, mas o método de componentes é totalmente suficiente e bem direto.

Resposta

r=\sqrt{a^{2}+b^{2}+2 a b \cos \theta}

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