- Dois vetores de intensidade
e
formam um ângulo
entre eles quando medidos a partir de sua extremidade inferior. Prove, considerando componentes ao longo de dois eixos perpendiculares, que a intensidade da soma é
Passo 1
O enunciado nos dá duas grandezas vetoriais com as seguintes informações:
- Dois vetores têm magnitudes
e . - O ângulo entre eles, medido a partir da extremidade inferior comum (ou seja, a partir das direções de suas caudas), é
.
O que o enunciado pede: - Mostrar que a magnitude da soma desses dois vetores (chamada aqui de
) satisfaz a relação
Lista das informações relevantes (o que sabemos e podemos usar sem resolver ainda):
- Podemos escolher um sistema de eixos ortogonais arbitrário para decompor vetores.
- A definição trigonométrica básica em um triângulo retângulo: cosseno é razão entre cateto adjacente e a hipotenusa, seno é razão entre cateto oposto e a hipotenusa.
- Teorema de Pitágoras para obter a magnitude de um vetor a partir de suas componentes ortogonais.
- A identidade trigonométrica
.
Passo 2
Escolher um sistema de referência simples para facilitar a conta.
- Coloco o vetor de magnitude
apontando ao longo do eixo positivo. Assim, escrevo a componente do primeiro vetor como
Explicação didática: isso é permitido porque nenhum eixo é preferido — podemos alinhar um dos vetores com o eixo
sem perda de generalidade. Isso simplifica a decomposição do outro vetor.
Passo 3
Decompor o vetor de magnitude
em componentes ortogonais.
- Como o ângulo entre os vetores é
, a componente de ao longo do eixo (adjacente ao ângulo) é . - A componente ao longo do eixo
(oposta ao ângulo) é .
Portanto
Breve justificativa didática: num triângulo retângulo formado pela projeção de
sobre os eixos, a hipotenusa vale
, o cateto adjacente é
e o cateto oposto é
por definição das funções trigonométricas.
Passo 4
Somar as componentes para obter o vetor resultante.
- Soma componente a componente:
- Assim as componentes do vetor soma são
Explicação didática: a adição vetorial em coordenadas cartesianas é feita somando as componentes correspondentes; isso transforma um problema vetorial em contas escalares simples.
Passo 5
Usar o teorema de Pitágoras para escrever o quadrado da magnitude do vetor soma.
- A magnitude ao quadrado é a soma dos quadrados das componentes (pois os eixos são perpendiculares):
- Substituindo
e obtemos
Passo 6
Desenvolver a expressão e simplificar usando identidade trigonométrica.
- Expandindo o primeiro quadrado e o segundo termo:
- Agrupando os termos com
e usando :
Portanto chegamos à relação para o quadrado do módulo:
Passo 7
Observar o passo final lógico para obter a magnitude e checar consistência.
- A magnitude
é o lado positivo da raiz quadrada de . Tomando a raiz quadrada positiva (pois magnitude é não negativa) obtemos a expressão desejada. - Checagens rápidas de consistência (intuição): se
então e a fórmula reduz a para , logo (vetores em mesma direção). Se então e a fórmula reduz a , logo (direções opostas). Essas verificações mostram que a fórmula tem o comportamento esperado.
Passo 8
Comentário extra (método alternativo curto).
- Outra forma elegante é usar o produto escalar:
, e como chega-se à mesma expressão para . Isto é útil quando já se conhece o conceito de produto escalar, mas o método de componentes é totalmente suficiente e bem direto.