2.83 Um cilindro para armazenamento de gás apresenta diâmetro e comprimento iguais a 20 cm e 1 m . O cilindro é evacuado e depois carregado com C O_{2} (gás) a 20^{\circ} \mathrm{C}. Qual deve ser a pressão para que se tenha 1,2 \mathrm{~kg} de dióxido de carbono no cilindro?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei estes números do enunciado).
  • Dados do cilindro:
    • Diâmetro =20\\ \mathrm{cm}.
    • Comprimento (altura) =1\\ \mathrm{m}.
  • Estado do gás:
    • Gás: CO_{2}.
    • Temperatura =20^\circ\mathrm{C}.
    • Massa de CO_{2} desejada no cilindro: 1,2\\ \mathrm{kg}.
  • O que é pedido:
    • A pressão que deve existir no cilindro para que haja 1,2\\ \mathrm{kg} de CO_{2} a 20^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Calcular o volume do cilindro — isso é necessário porque a pressão será obtida usando a equação dos gases. Primeiro convertendo o diâmetro em raio e para metros:
  • Raio r é metade do diâmetro: r=\frac{20\\ \mathrm{cm}}{2}=10\\ \mathrm{cm}=0,10\\ \mathrm{m}.
A fórmula do volume de um cilindro é
V=\pi r^{2} h,
onde r é o raio e h é a altura (comprimento). Aplicando:
V=\pi (0,10)^{2}\cdot 1=\pi\cdot 0,01=0,01\pi\\ \mathrm{m^{3}}.
Valor numérico aproximado:
V\approx 0,01\cdot 3,14159265\approx 0,0314159\\ \mathrm{m^{3}}.

Passo 3

Converter a massa de CO_{2} em número de mols. Explicação rápida: o número de mols n é a razão entre a massa m e a massa molar M:
n=\frac{m}{M}.
A massa molar do CO_{2} é 44{,}01\\ \mathrm{g/mol}, ou seja 0,04401\\ \mathrm{kg/mol}. Usando m=1{,}2\\ \mathrm{kg}:
n=\frac{1{,}2}{0,04401}\\ \mathrm{mol}\approx 27{,}27\\ \mathrm{mol}.
(Expliquei: converteu-se a massa molar para kg/mol para ficar consistente com m em kg.)

Passo 4

Usar a equação dos gases ideais para relacionar p, V, n e T. A equação é
pV=nRT,
onde:
  • p é a pressão (em Pa),
  • V é o volume (em \mathrm{m^{3}}),
  • n é o número de mols (em mol),
  • R é a constante universal dos gases R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)},
  • T é a temperatura absoluta (em K).
Converter a temperatura:
T=20^\circ\mathrm{C}=20+273{,}15=293{,}15\\ \mathrm{K}.
Isolar p:
p=\frac{nRT}{V}.
Agora calcular nRT passo a passo:
R\cdot T=8{,}314\cdot 293{,}15\approx 2\,437{,}25\\ \mathrm{J/(mol)}.
nRT\approx 27{,}27\cdot 2\,437{,}25\approx 66\,463{,}8\\ \mathrm{J}.
Como 1\\ \mathrm{J}=1\\ \mathrm{Pa\cdot m^{3}}, esse numerador tem unidades compatíveis.
Dividindo pelo volume:
p=\frac{66\,463{,}8}{0,0314159}\\ \mathrm{Pa}\approx 2\,115\,600\\ \mathrm{Pa}.

Passo 5

Converter a pressão para unidades mais usuais e comentar sobre validade da aproximação.
  • Em pascal: p\approx 2{,}12\times 10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
  • Em bar ( 1\\ \mathrm{bar}=10^{5}\\ \mathrm{Pa}): p\approx \frac{2{,}12\times 10^{6}}{10^{5}}\approx 21{,}2\\ \mathrm{bar}.
  • Em atmosferas ( 1\\ \mathrm{atm}=1{,}01325\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}): p\approx \frac{2{,}115{,}6\times 10^{6}}{1{,}01325\times 10^{5}}\approx 20{,}9\\ \mathrm{atm}.
Observação didática curta: usei a lei dos gases ideais porque é o método padrão em exercícios desse tipo. Note que a pressão obtida ( \sim 21\\ \mathrm{bar}) é relativamente alta; em situações reais pode haver desvios do comportamento ideal (efeitos de compressibilidade do CO_{2}), mas para um exercício de prova o uso da equação dos gases ideais é o procedimento esperado e fornece uma boa estimativa.
Força final e incentivo: deu trabalho, mas a ideia é sempre transformar massa → mols → aplicar pV=nRT depois de calcular o volume. Você já domina o caminho.

Resposta

p\approx 2{,}12\times 10^{6}\\ \mathrm{Pa}
p\approx 21{,}2\\ \mathrm{bar}
p\approx 20{,}9\\ \mathrm{atm}

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