7.13 Uma viga-I S 150 \times 26, de aço (veja a Tabela B.9), é simplesmente apoiada em um vão L e suporta uma carga uniformemente distribuída, de intensidade w.
(a) Determine o valor máximo de w.
(b) Determine a largura de uma seção retangular maciça com a mesma altura de 152 mm que possa substituir o perfil I.
(c) Compare as áreas das duas seções.
Dados: L=10 in e \sigma_{\mathrm{adm}}=120 \mathrm{MPa}.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  1. (a) Determinar o valor máximo de w (intensidade da carga uniformemente distribuída) que a viga I pode suportar sem ultrapassar a tensão admissível.
  2. (b) Determinar a largura de uma seção retangular maciça, com a mesma altura de 152\\ \text{mm}, que substitua o perfil I mantendo a mesma capacidade de flexão.
  3. (c) Comparar as áreas da seção retangular e da seção I.
Informações dadas no enunciado:
L=10\\ \text{in},\qquad \sigma_{\mathrm{adm}}=120\\ \text{MPa},\qquad \text{perfil: S }150\times26,\qquad \text{altura desejada do retângulo }h=152\\ \text{mm}.â
Observação importante (dados ausentes): o enunciado refere-se à Tabela B.9 para obter propriedades do perfil S\\\ 150\times26. Para resolver numericamente (obter valores numéricos de w, largura b e áreas) precisamos de pelo menos:
  • a área da seção do perfil I, A_I, e
  • o módulo de resistência à flexão (módulo de seção) do perfil I em relação ao eixo neutro, que chamarei de S_I (unidade usual: \text{mm}^3).
A Tabela B.9 não foi anexada aqui. Portanto não posso fornecer os valores numéricos finais sem esses dados. Vou, porém, mostrar passo a passo todo o raciocínio e as fórmulas que você deve aplicar e explicar cada conceito; com os valores S_I e A_I da tabela você fará os cálculos rapidamente.

Passo 2

Conceito e fórmula do momento máximo para viga simplesmente apoiada com carga uniformemente distribuída.
  • Para uma viga simplesmente apoiada com carga uniformemente distribuída de intensidade w (unidade: força por comprimento, por exemplo N/mm), o momento fletor máximo ocorre no meio do vão e vale
M_{\max}=\frac{wL^{2}}{8}.
Explicação curta: essa fórmula vem da solução clássica da equação da viga para carga uniformemente distribuída; é padrão e muito usada em provas.
Importante sobre unidades: devemos usar unidades coerentes. Como a tensão admissível está em \text{MPa}=\text{N}/\text{mm}^{2}, converto o vão para milímetros:
L=10\\ \text{in}=10\times25{,}4\\ \text{mm}=254\\ \text{mm}.
Portanto, nas fórmulas abaixo use L em \text{mm} e w em \text{N}/\text{mm}. (Se a tabela der S_I em \text{cm}^3 ou outra unidade, faça a conversão para \text{mm}^3.)

Passo 3

Conceito de tensão de flexão e módulo de seção.
  • A tensão máxima de flexão na fibra extrema da seção é dada por
\sigma_{\max}=\frac{M_{\max}}{S},
onde S é o módulo de seção (módulo resistente) em relação à fibra extrema. Explico: o módulo de seção S é a razão entre o momento de inércia da seção I e a distância da fibra extrema ao eixo neutro c, isto é S=I/c. Ele tem unidades de \text{mm}^3 quando I está em \text{mm}^4 e c em \text{mm}.
  • Para que a seção trabalhe sem ultrapassar a tensão admissível, impostamos
\sigma_{\max}=\sigma_{\mathrm{adm}}.

Passo 4

Obter expressão de w_{\max} em função de S_I.
Aplique as fórmulas:
\sigma_{\mathrm{adm}}=\frac{M_{\max}}{S_I}=\frac{wL^{2}}{8S_I}.
Isolando w,
\boxed{\,w_{\max}=\frac{8\,\sigma_{\mathrm{adm}}\,S_I}{L^{2}}\,}.
Comentários didáticos:
  • Essa é a fórmula que você colocará na prova: pegue S_I da Tabela B.9 (em \text{mm}^3), use \sigma_{\mathrm{adm}}=120\\ \text{MPa}=120\\ \text{N}/\text{mm}^{2} e L=254\\ \text{mm}, e obterá w_{\max} em \text{N}/\text{mm}. Se quiser w em \text{N}/\text{m} ou \text{kN}/\text{m}, converta depois: 1\\ \text{N}/\text{mm}=1000\\ \text{N}/\text{m}=1\\ \text{kN}/\text{m}.
Exemplo de conversão prática (sem valores numéricos do perfil): supondo que da tabela S_I viesse em unidades \text{cm}^3, lembre-se que 1\\ \text{cm}^3=10^{3}\\ \text{mm}^3 — sempre coloque tudo em \text{mm} para usar \text{MPa}.

Passo 5

Seção retangular maciça — fórmula do módulo de seção e largura necessária.
Para uma seção retangular maciça de largura b e altura h:
  • Momento de inércia em torno do eixo neutro horizontal:
I_{\text{ret}}=\frac{b\,h^{3}}{12}.
  • A distância da fibra extrema ao eixo neutro é c=\dfrac{h}{2}.
  • Logo, o módulo de seção da retangular é
S_{\text{ret}}=\frac{I_{\text{ret}}}{c}=\frac{b\,h^{3}/12}{h/2}=\frac{b\,h^{2}}{6}.
Para que a seção retangular tenha a mesma resistência à flexão que a seção I (isto é, para que produza a mesma tensão máxima quando submetida ao mesmo momento), imponha S_{\text{ret}}=S_I. Assim:
\frac{b\,h^{2}}{6}=S_I \quad\Rightarrow\quad \boxed{\,b=\frac{6\,S_I}{h^{2}}\, }.
Aplicação prática:
  • Use h=152\\ \text{mm} (dado).
  • Entre com S_I (em \text{mm}^3) desta fórmula e obterá b em mm. Esse b é a largura do retângulo que tem a mesma resistência à flexão.

Passo 6

Áreas e comparação.
  • Área da seção retangular:
A_{\text{ret}}=b\,h.
Substituindo b da fórmula anterior,
A_{\text{ret}}=h\cdot\frac{6\,S_I}{h^{2}}=\frac{6\,S_I}{h}.
  • A área da seção I é A_I (valor disponível na Tabela B.9). Para comparar, calcule a razão:
\frac{A_{\text{ret}}}{A_I}=\frac{6\,S_I}{h\,A_I}.
Interpretação prática:
  • Se \dfrac{A_{\text{ret}}}{A_I}>1, o retângulo tem área maior (logo mais material).
  • Se \dfrac{A_{\text{ret}}}{A_I}<1, o retângulo tem área menor (mais eficiente em área, para a mesma resistência à flexão).

Passo 7

Resumo do procedimento numérico que você deve executar com a Tabela B.9 (passos que você fará rapidamente na prova):
  1. Pegar da Tabela B.9 os valores numéricos de S_I (módulo resistente em \text{mm}^{3}) e A_I (área em \text{mm}^{2}). Se a tabela usar outras unidades, converter para \text{mm}^{3} e \text{mm}^{2}.
  2. Calcular L=10\\ \text{in}=254\\ \text{mm}.
  3. Calcular w_{\max} pela fórmula do Passo 4:
w_{\max}=\frac{8\,\sigma_{\mathrm{adm}}\,S_I}{L^{2}}.
  1. Calcular b pela fórmula do Passo 5:
b=\frac{6\,S_I}{h^{2}},\quad h=152\\ \text{mm}.
  1. Calcular A_{\text{ret}}=b\,h e comparar com A_I através da razão \dfrac{A_{\text{ret}}}{A_I}.
Se quiser, cole aqui os valores de S_I e A_I que você encontrar na Tabela B.9 e eu faço os cálculos numéricos para você na hora — rapidinho.

Resposta

(a) w_{\max}=\dfrac{8\,\sigma_{\mathrm{adm}}\,S_I}{L^{2}} (é necessário o valor de S_I da Tabela B.9 para obter o número).
(b) b=\dfrac{6\,S_I}{h^{2}} com h=152\\ \text{mm} (é necessário S_I da Tabela B.9 para obter o número).
(c) A_{\text{ret}}=\dfrac{6\,S_I}{h}. Comparação em relação à seção I:
\frac{A_{\text{ret}}}{A_I}=\frac{6\,S_I}{h\,A_I},
onde A_I e S_I devem ser obtidos na Tabela B.9 (sem esses valores não é possível dar os números finais).

Exercícios relacionados