Questão 1 ( \mathbf{2 , 5} pts): Um eixo de aço vazado com 3 m de comprimento deve transmitir um torque de 25 \mathrm{kN} \cdot \mathrm{m}. O ângulo total de torção não deve exceder 2, 5^{\circ} e a tensão de cisalhamento admissível é de 90 MPa . Determine os diâmetros interno e externo do eixo, se o módulo de elasticidade transversal do material for 85 GPa .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede os diâmetros interno e externo do eixo:
\text{Comprimento: } L=3\\ \mathrm{m}
\text{Torque aplicado: } T=25\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}
\text{Ângulo total de torção máximo: } \theta_{\text{max}}=2,5^\circÂçãá
\text{Tensão de cisalhamento admissível: } \tau_{\text{adm}}=90\\ \mathrm{MPa}ãí
\text{Módulo de elasticidade transversal (módulo de cisalhamento): } G=85\\ \mathrm{GPa}óó
O objetivo é determinar o diâmetro externo d_o e o diâmetro interno d_i do eixo vazado que satisfaçam essas limitações.

Passo 2

Vamos reunir e explicar as fórmulas necessárias (com calma, como num passo-a-passo de prova).
  1. Para um eixo circular oco o momento polar de inércia (polar second moment) J é dado por
J=\frac{\pi}{32}\left(d_o^4-d_i^4\right),
onde d_o é o diâmetro externo e d_i é o diâmetro interno. Aqui cada variável é
\,d_o: diâmetro externo (m), \,d_i: diâmetro interno (m), J: em \mathrm{m}^4.
  1. A tensão de cisalhamento máxima na superfície externa (onde a tensão é maior) é
\tau_{\max}=\frac{T\cdot c}{J}=\frac{T\,(d_o/2)}{J},
onde T é o torque (N·m) e c=d_o/2 é o raio externo (m). Essa fórmula vem da distribuição de tensão por torção: tensão proporcional à distância ao centro.
  1. O ângulo total de torção em um comprimento L é
\theta=\frac{T\,L}{G\,J},
onde G é o módulo de cisalhamento e \theta está em radianos. Essa fórmula vem da relação entre torque, rigidez à torção GJ e deformação angular.
Essas duas equações (tensão e torção) usam o mesmo J. Para obter duas incógnitas ( d_o,d_i) vamos usar as duas condições limite simultaneamente: \tau_{\max}=\tau_{\text{adm}} e \theta=\theta_{\text{max}}. Isso nos dá duas equações que permitem resolver d_o e d_i.

Passo 3

Primeiro convertemos unidades e calculamos valores auxiliares:
  • Converter o torque para N·m:
T=25\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}=25\,000\\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}.
  • Converter o módulo de cisalhamento e a tensão para Pa:
G=85\\ \mathrm{GPa}=85\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}, \qquad \tau_{\text{adm}}=90\\ \mathrm{MPa}=90\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
  • Converter o ângulo para radianos:
\theta_{\text{max}}=2,5^\circ=\frac{2,5\pi}{180}\\ \text{rad} \approx 0,0436332313\\ \text{rad}.

Passo 4

Usamos as duas equações em que consideramos os limites ativos:
\tau_{\text{adm}}=\frac{T\,(d_o/2)}{J} \qquad\text{e}\qquad \theta_{\text{max}}=\frac{T\,L}{G\,J}.
Isolamos J na segunda equação:
J=\frac{T\,L}{G\,\theta_{\text{max}}}.
Substituímos esse J na equação da tensão e resolvemos para d_o:
\tau_{\text{adm}}=\frac{T\,(d_o/2)}{J} \quad\Rightarrow\quad d_o=2\,\frac{\tau_{\text{adm}}\,J}{T}.
Substituindo J:
d_o=2\,\frac{\tau_{\text{adm}}}{T}\cdot\frac{T\,L}{G\,\theta_{\text{max}}} =2\frac{\tau_{\text{adm}}\,L}{G\,\theta_{\text{max}}}.
Observe que o T cancelou — isto significa que, quando exigimos simultaneamente que a tensão e a torção atinjam seus limites, o diâmetro externo fica determinado pelas propriedades do material, pelo comprimento e pelos limites admissíveis.

Passo 5

Agora calculamos numericamente d_o passo a passo (usar vírgula decimal conforme pedido):
\theta_{\text{max}}=\frac{2,5\pi}{180}\approx 0,0436332313\\ \text{rad}.
d_o=2\frac{\tau_{\text{adm}}\,L}{G\,\theta_{\text{max}}} =2\frac{90\times10^{6}\cdot 3}{85\times10^{9}\cdot 0,0436332313}.
Calculemos o denominador:
G\,\theta_{\text{max}}=85\times10^{9}\cdot 0,0436332313\approx 3,7088246605\times10^{9}.
Calcule o numerador:
2\cdot 90\times10^{6}\cdot 3=540\times10^{6}.
Portanto
d_o\approx\frac{540\times10^{6}}{3,7088246605\times10^{9}}\approx 0,145599\\ \mathrm{m}.
Em milímetros:
d_o\approx 145,6\\ \mathrm{mm}\\ (\text{arredondando }146\\ \mathrm{mm}).

Passo 6

Com d_o encontrado, encontramos J a partir da fórmula da torção (que já usamos simbolicamente antes, mas agora calculamos numérico para obter d_i):
J=\frac{T\,L}{G\,\theta_{\text{max}}} =\frac{25\,000\cdot 3}{85\times10^{9}\cdot 0,0436332313} \approx 2,02198\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^4.

Passo 7

Agora relacionamos J com os diâmetros:
J=\frac{\pi}{32}\left(d_o^4-d_i^4\right).
Isolando d_i^4:
d_i^4=d_o^4-\frac{32\,J}{\pi}.
Vamos calcular os termos numericamente. Primeiro d_o^4:
d_o\approx 0,145599\\ \mathrm{m}\quad\Rightarrow\quad d_o^4\approx (0,145599)^4\approx 4,49650\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^4.
Agora
\frac{32\,J}{\pi}=\frac{32\cdot 2,02198\times10^{-5}}{\pi}\approx 2,06151\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^4.
Então
d_i^4\approx 4,49650\times10^{-4}-2,06151\times10^{-4}=2,43499\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^4.
Tirando a raiz quarta (duas raízes quadradas seguidas):
d_i=\left(2,43499\times10^{-4}\right)^{1/4}\approx 0,12495\\ \mathrm{m}.
Em milímetros:
d_i\approx 124,95\\ \mathrm{mm}\\ (\text{arredondando }125\\ \mathrm{mm}).

Passo 8

Verificação rápida (opcional, só para ficar tranquilo): com esses valores calculados J e d_o voltamos nas fórmulas e obtemos aproximadamente os limites dados:
\theta=\frac{T\,L}{G\,J}\approx 0,04363\\ \text{rad}\approx 2,5^\circ, \qquad \tau_{\max}=\frac{T\,(d_o/2)}{J}\approx 90\\ \mathrm{MPa}.
Ou seja, ambas as restrições tornam-se ativas com os diâmetros encontrados — ótimo para um projeto eficiente.

Resposta

d_o\approx 0,146\\ \mathrm{m}=146\\ \mathrm{mm}\n
d_i\approx 0,125\\ \mathrm{m}=125\\ \mathrm{mm}

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