Questão 1 (
pts): Um eixo de aço vazado com 3 m de comprimento deve transmitir um torque de
. O ângulo total de torção não deve exceder 2,
e a tensão de cisalhamento admissível é de 90 MPa . Determine os diâmetros interno e externo do eixo, se o módulo de elasticidade transversal do material for 85 GPa .
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede os diâmetros interno e externo do eixo:
O objetivo é determinar o diâmetro externo
e o diâmetro interno
do eixo vazado que satisfaçam essas limitações.
Passo 2
Vamos reunir e explicar as fórmulas necessárias (com calma, como num passo-a-passo de prova).
- Para um eixo circular oco o momento polar de inércia (polar second moment)
é dado por
onde
é o diâmetro externo e
é o diâmetro interno. Aqui cada variável é
: diâmetro externo (m),
: diâmetro interno (m),
: em
.
- A tensão de cisalhamento máxima na superfície externa (onde a tensão é maior) é
onde
é o torque (N·m) e
é o raio externo (m). Essa fórmula vem da distribuição de tensão por torção: tensão proporcional à distância ao centro.
- O ângulo total de torção em um comprimento
é
onde
é o módulo de cisalhamento e
está em radianos. Essa fórmula vem da relação entre torque, rigidez à torção
e deformação angular.
Essas duas equações (tensão e torção) usam o mesmo
. Para obter duas incógnitas (
) vamos usar as duas condições limite simultaneamente:
e
. Isso nos dá duas equações que permitem resolver
e
.
Passo 3
Primeiro convertemos unidades e calculamos valores auxiliares:
- Converter o torque para N·m:
- Converter o módulo de cisalhamento e a tensão para Pa:
- Converter o ângulo para radianos:
Passo 4
Usamos as duas equações em que consideramos os limites ativos:
Isolamos
na segunda equação:
Substituímos esse
na equação da tensão e resolvemos para
:
Substituindo
:
Observe que o
cancelou — isto significa que, quando exigimos simultaneamente que a tensão e a torção atinjam seus limites, o diâmetro externo fica determinado pelas propriedades do material, pelo comprimento e pelos limites admissíveis.
Passo 5
Agora calculamos numericamente
passo a passo (usar vírgula decimal conforme pedido):
Calculemos o denominador:
Calcule o numerador:
Portanto
Em milímetros:
Passo 6
Com
encontrado, encontramos
a partir da fórmula da torção (que já usamos simbolicamente antes, mas agora calculamos numérico para obter
):
Passo 7
Agora relacionamos
com os diâmetros:
Isolando
:
Vamos calcular os termos numericamente. Primeiro
:
Agora
Então
Tirando a raiz quarta (duas raízes quadradas seguidas):
Em milímetros:
Passo 8
Verificação rápida (opcional, só para ficar tranquilo): com esses valores calculados
e
voltamos nas fórmulas e obtemos aproximadamente os limites dados:
Ou seja, ambas as restrições tornam-se ativas com os diâmetros encontrados — ótimo para um projeto eficiente.