Resolva o problema 15.49 se a carga P varia de forma contínua de 2 a 4 kips. Aplique o critério de Goodman. Dado: Su =60 \mathrm{ksi}, \mathrm{n}=2,5.

Passo 1

O que o enunciado me deu (explicitamente):
  • A carga P varia de forma contínua entre 2 e 4 kips, logo P_{\min}=2\\ \text{kips} e P_{\max}=4\\ \text{kips}.
  • Deve-se aplicar o critério de Goodman.
  • Foi dado o limite último: \displaystyle S_u = 60\\ \text{ksi}.
  • Foi dado o fator de segurança final desejado: \displaystyle n = 2,5.
O que NÃO foi informado (e que normalmente é necessário para resolver “numericamente” um problema prático como o 15.49):
  • A relação entre a carga P e a tensão \sigma (por exemplo: a geometria da peça, o tipo de carregamento — flexão, tração, etc. — e o comprimento/alcance que transforma P em momento ou força e, finalmente, em tensão). Em muitos exercícios, existe uma constante geométrica que transforma P em tensão, por exemplo \sigma = k\;P (onde k depende da seção e da alavanca).
  • O limite de fadiga (endurance limit) efetivo \displaystyle S_e ou suas correções (fatores de superfície, tamanho, carregamento, temperatura etc.). Sem isso não podemos aplicar numericamente o critério de Goodman, a não ser fazendo hipóteses.
  • Se existirem concentrações de tensão, tratamentos de superfície ou outros fatores que alterem \displaystyle S_e ou introduzam K_t.
Como não tenho a figura/descrição completa do problema 15.49, NÃO posso calcular, por exemplo, um diâmetro final da peça, porque isso exige a relação geométrica entre P e \sigma. Porém, posso:
  • Mostrar passo a passo como aplicar o critério de Goodman de forma didática (a “aula” que você pediu), e
  • Resolver o caso genérico assumindo uma relação linear \sigma = kP (onde k é uma constante de proporcionalidade que você obteria a partir da geometria do problema). Em seguida, farei uma hipótese comum para \displaystyle S_e (quando não fornecida) e apresentarei o cálculo numérico correspondente — sempre indicando claramente que é uma hipótese.

Passo 2

Entendendo as tensões quando P varia (fórmulas e razão física)
  • Se a tensão na peça é proporcional à carga, podemos escrever a relação linear
\sigma = k\,P,
onde:
  • \sigma é a tensão (em \mathrm{ksi}),
  • P é a carga (em kips),
  • k é uma constante que traduz a geometria e o tipo de carregamento (unidades: \mathrm{ksi}/\text{kips}). Ex.: para uma viga em flexão simples, k pode envolver M/I e a distância c; para tração axial, k=1/A convertido em unidades adequadas.
  • Com P_{\min}=2 kips e P_{\max}=4 kips, as tensões extremas são:
\sigma_{\min} = k\cdot 2,\qquad \sigma_{\max} = k\cdot 4.
  • A tensão alternante (amplitude) e a tensão média são definidas assim:
\sigma_a = \frac{\sigma_{\max}-\sigma_{\min}}{2},\qquad \sigma_m = \frac{\sigma_{\max}+\sigma_{\min}}{2}.
Substituindo \sigma_{\max}=4k e \sigma_{\min}=2k obtemos:
\sigma_a = \frac{4k-2k}{2} = k, \qquad \sigma_m = \frac{4k+2k}{2} = 3k.
Ou seja, para esse carregamento variável entre 2 e 4 kips:
  • A amplitude da tensão é \sigma_a = k.
  • A tensão média é \sigma_m = 3k.
Explicação física curta: a tensão oscila entre 2k e 4k; a “meia-oscila” (amplitude) é a metade da variação e o “centro” da oscilação é o valor médio.

Passo 3

O critério de Goodman (forma linear modificada) — fórmula e significado
  • O critério de Goodman relaciona \sigma_a, \sigma_m, o limite de fadiga efetivo \displaystyle S_e e o limite último \displaystyle S_u. A forma usada para checar um fator de segurança n é:
\frac{\sigma_a}{S_e} + \frac{\sigma_m}{S_u} = \frac{1}{n}.
  • Interpretação: a soma das frações normalizadas da tensão alternante pelo limite de resistência à fadiga e da tensão média pelo limite último deve ser menor ou igual a 1/n para obter o fator de segurança desejado. Quando \sigma_m=0 (carga reversa simétrica), a expressão reduz à simples comparação \sigma_a \le S_e/n.

Passo 4

Colocando as expressões de \sigma_a e \sigma_m na equação de Goodman
  • Substituindo \sigma_a = k e \sigma_m = 3k na fórmula de Goodman:
\frac{k}{S_e} + \frac{3k}{S_u} = \frac{1}{n}.
  • Agrupando k:
k\left(\frac{1}{S_e} + \frac{3}{S_u}\right) = \frac{1}{n}.
  • Logo, isolamos k:
k = \frac{1/n}{\dfrac{1}{S_e} + \dfrac{3}{S_u}}.
Esta é a solução simbólica para k (a constante que transforma kips em ksi) em função de \;S_e,\;S_u e n. Depois de obter k você multiplica por P para achar as tensões reais.

Passo 5

Como obter \displaystyle S_e quando não é dado — hipótese comum e justificativa
  • Normalmente, para aços com carregamento de flexão reversa, usa-se a regra prática:
S_e' \approx 0{,}5\,S_u
onde S_e' é o limite de fadiga ideal (para amostras polidas de dimensão pequena). Em exercícios introdutórios, muitas vezes assumem-se todos os fatores de correção iguais a 1 (superfície polida, tamanho pequeno, carga rotacional ideal, temperatura ambiente, confiabilidade padrão), logo S_e = S_e'.
  • Vou adotar essa hipótese padrão (você deve confirmar no enunciado original se era isso que o exercício pedia):
S_e = 0{,}5\,S_u.
Com \;S_u = 60\\ \text{ksi} isso dá:
S_e = 0{,}5 \times 60 = 30\\ \text{ksi}.
Obs.: se o exercício pedisse aplicar fatores (fatores de superfície k_a, tamanho k_b, carregamento k_c, temperatura k_d, confiabilidade k_e, e fator de segurança \alpha), então S_e = k_a k_b k_c k_d k_e S_e' e o resultado numérico mudaria.

Passo 6

Cálculo numérico (usando a hipótese \displaystyle S_e = 0{,}5 S_u = 30\\ \text{ksi})
  • Substituindo \;S_e=30\\ \text{ksi},\; S_u=60\\ \text{ksi},\; n=2{,}5 na fórmula de k:
k = \frac{1/n}{\dfrac{1}{S_e} + \dfrac{3}{S_u}} = \frac{1/2{,}5}{\dfrac{1}{30} + \dfrac{3}{60}}.
Calcule os termos no denominador (em \mathrm{ksi}^{-1}):
\frac{1}{30} = 0{,}033333\ldots,\qquad \frac{3}{60} = 0{,}05,
portanto
\dfrac{1}{S_e} + \dfrac{3}{S_u} = 0{,}033333\ldots + 0{,}05 = 0{,}083333\ldots = \frac{1}{12}.
Já o numerador:
\frac{1}{n} = \frac{1}{2{,}5} = 0{,}4.
Logo
k = \frac{0{,}4}{0{,}083333\ldots} = 4{,}8\\ \mathrm{ksi/kips}.

Passo 7

Tensões correspondentes (com k=4{,}8\\ \mathrm{ksi/kips})
  • \displaystyle \sigma_{\min} = k\cdot 2 = 4{,}8\times 2 = 9{,}6\\ \mathrm{ksi}.
  • \displaystyle \sigma_{\max} = k\cdot 4 = 4{,}8\times 4 = 19{,}2\\ \mathrm{ksi}.
  • \displaystyle \sigma_a = k = 4{,}8\\ \mathrm{ksi}.
  • \displaystyle \sigma_m = 3k = 14{,}4\\ \mathrm{ksi}.
Cheque rápido do Goodman:
\frac{\sigma_a}{S_e} + \frac{\sigma_m}{S_u} = \frac{4{,}8}{30} + \frac{14{,}4}{60} = 0{,}16 + 0{,}24 = 0{,}40 = \frac{1}{2{,}5},
logo satisfaz exatamente o critério com n=2{,}5, como era esperado porque construímos k para isso.

Passo 8

Interpretação prática e como usar isso no problema 15.49 (passo a passo aplicado)
  • Se o problema 15.49 pede, por exemplo, achar um diâmetro d de um eixo que está sujeito a flexão proporcional a P, você faria:
    1. Determinar a expressão da tensão máxima por unidade de carga: \sigma = kP. A partir da geometria você calcula k simbólica em termos de d (por ex. para flexão pura em seção circular k envolveria M/I e c=d/2, com M proporcional a P).
    2. Inserir essa expressão na fórmula simbólica que obtivemos em Passo 4:
    k = \frac{1/n}{1/S_e + 3/S_u}.
    1. Resolver algebricamente para a(s) incógnita(s) geométrica(s) (por exemplo, para d se k dependia de d).
  • Se o exercício pedir apenas verificar que com as tensões resultantes a peça atende para n=2{,}5, então as tensões que calculei no Passo 7 são a resposta (sob a hipótese S_e = 0{,}5 S_u e sem fatores de correção).

Passo 9

Observações finais, limitações e incentivo
  • Importante: meu cálculo numérico assume \displaystyle S_e=0{,}5S_u e nenhum fator de redução. Se o enunciado original do problema 15.49 especifica fatores de superfície, tamanho, carregamento, confiabilidade ou dá S_e direto, substitua esse valor na fórmula do Passo 4 e refaça os cálculos — o procedimento é idêntico.
  • Se você me mandar a figura / a relação geométrica (como \sigma = \dfrac{32 M}{\pi d^3} ou \sigma = \dfrac{P}{A} etc.), eu aplico diretamente e resolvo para o diâmetro ou outra incógnita passo a passo.
  • Força! Você já tem agora o método claro para aplicar Goodman: calcule \sigma_a e \sigma_m, escolha/obtenha S_e, e use a equação de Goodman para obter o que precisa. Se quiser, me envia o enunciado completo (com figura) que eu faço tudo nos detalhes algébricos até o resultado final.

Resposta

\displaystyle k = 4{,}8\\ \mathrm{ksi/kips} (assumindo S_e = 0{,}5\,S_u = 30\\ \mathrm{ksi})
\displaystyle \sigma_{\min} = 9{,}6\\ \mathrm{ksi}
\displaystyle \sigma_{\max} = 19{,}2\\ \mathrm{ksi}
\displaystyle \sigma_a = 4{,}8\\ \mathrm{ksi}
\displaystyle \sigma_m = 14{,}4\\ \mathrm{ksi}

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