Resolva o problema 15.49 se a carga P varia de forma contínua de 2 a 4 kips. Aplique o critério de Goodman. Dado: Su
.
Passo 1
O que o enunciado me deu (explicitamente):
- A carga
varia de forma contínua entre e kips, logo e . - Deve-se aplicar o critério de Goodman.
- Foi dado o limite último:
. - Foi dado o fator de segurança final desejado:
.
O que NÃO foi informado (e que normalmente é necessário para resolver “numericamente” um problema prático como o 15.49):
- A relação entre a carga
e a tensão (por exemplo: a geometria da peça, o tipo de carregamento — flexão, tração, etc. — e o comprimento/alcance que transforma em momento ou força e, finalmente, em tensão). Em muitos exercícios, existe uma constante geométrica que transforma em tensão, por exemplo (onde depende da seção e da alavanca). - O limite de fadiga (endurance limit) efetivo
ou suas correções (fatores de superfície, tamanho, carregamento, temperatura etc.). Sem isso não podemos aplicar numericamente o critério de Goodman, a não ser fazendo hipóteses. - Se existirem concentrações de tensão, tratamentos de superfície ou outros fatores que alterem
ou introduzam .
Como não tenho a figura/descrição completa do problema 15.49, NÃO posso calcular, por exemplo, um diâmetro final da peça, porque isso exige a relação geométrica entre
e
. Porém, posso:
- Mostrar passo a passo como aplicar o critério de Goodman de forma didática (a “aula” que você pediu), e
- Resolver o caso genérico assumindo uma relação linear
(onde é uma constante de proporcionalidade que você obteria a partir da geometria do problema). Em seguida, farei uma hipótese comum para (quando não fornecida) e apresentarei o cálculo numérico correspondente — sempre indicando claramente que é uma hipótese.
Passo 2
Entendendo as tensões quando
varia (fórmulas e razão física)
- Se a tensão na peça é proporcional à carga, podemos escrever a relação linear
onde:
-
é a tensão (em ), -
é a carga (em kips), -
é uma constante que traduz a geometria e o tipo de carregamento (unidades: ). Ex.: para uma viga em flexão simples, pode envolver e a distância ; para tração axial, convertido em unidades adequadas. -
Com
kips e kips, as tensões extremas são:
- A tensão alternante (amplitude) e a tensão média são definidas assim:
Substituindo
e
obtemos:
Ou seja, para esse carregamento variável entre 2 e 4 kips:
- A amplitude da tensão é
. - A tensão média é
.
Explicação física curta: a tensão oscila entre
e
; a “meia-oscila” (amplitude) é a metade da variação e o “centro” da oscilação é o valor médio.
Passo 3
O critério de Goodman (forma linear modificada) — fórmula e significado
- O critério de Goodman relaciona
, , o limite de fadiga efetivo e o limite último . A forma usada para checar um fator de segurança é:
- Interpretação: a soma das frações normalizadas da tensão alternante pelo limite de resistência à fadiga e da tensão média pelo limite último deve ser menor ou igual a
para obter o fator de segurança desejado. Quando (carga reversa simétrica), a expressão reduz à simples comparação .
Passo 4
Colocando as expressões de
e
na equação de Goodman
- Substituindo
e na fórmula de Goodman:
- Agrupando
:
- Logo, isolamos
:
Esta é a solução simbólica para
(a constante que transforma kips em ksi) em função de
e
. Depois de obter
você multiplica por
para achar as tensões reais.
Passo 5
Como obter
quando não é dado — hipótese comum e justificativa
- Normalmente, para aços com carregamento de flexão reversa, usa-se a regra prática:
onde
é o limite de fadiga ideal (para amostras polidas de dimensão pequena). Em exercícios introdutórios, muitas vezes assumem-se todos os fatores de correção iguais a
(superfície polida, tamanho pequeno, carga rotacional ideal, temperatura ambiente, confiabilidade padrão), logo
.
- Vou adotar essa hipótese padrão (você deve confirmar no enunciado original se era isso que o exercício pedia):
Com
isso dá:
Obs.: se o exercício pedisse aplicar fatores (fatores de superfície
, tamanho
, carregamento
, temperatura
, confiabilidade
, e fator de segurança
), então
e o resultado numérico mudaria.
Passo 6
Cálculo numérico (usando a hipótese
)
- Substituindo
na fórmula de :
Calcule os termos no denominador (em
):
portanto
Já o numerador:
Logo
Passo 7
Tensões correspondentes (com
)
Cheque rápido do Goodman:
logo satisfaz exatamente o critério com
, como era esperado porque construímos
para isso.
Passo 8
Interpretação prática e como usar isso no problema 15.49 (passo a passo aplicado)
- Se o problema 15.49 pede, por exemplo, achar um diâmetro
de um eixo que está sujeito a flexão proporcional a , você faria: - Determinar a expressão da tensão máxima por unidade de carga:
. A partir da geometria você calcula simbólica em termos de (por ex. para flexão pura em seção circular envolveria e , com proporcional a ). - Inserir essa expressão na fórmula simbólica que obtivemos em Passo 4:
- Resolver algebricamente para a(s) incógnita(s) geométrica(s) (por exemplo, para
se dependia de ).
- Determinar a expressão da tensão máxima por unidade de carga:
- Se o exercício pedir apenas verificar que com as tensões resultantes a peça atende para
, então as tensões que calculei no Passo 7 são a resposta (sob a hipótese e sem fatores de correção).
Passo 9
Observações finais, limitações e incentivo
- Importante: meu cálculo numérico assume
e nenhum fator de redução. Se o enunciado original do problema 15.49 especifica fatores de superfície, tamanho, carregamento, confiabilidade ou dá direto, substitua esse valor na fórmula do Passo 4 e refaça os cálculos — o procedimento é idêntico. - Se você me mandar a figura / a relação geométrica (como
ou etc.), eu aplico diretamente e resolvo para o diâmetro ou outra incógnita passo a passo. - Força! Você já tem agora o método claro para aplicar Goodman: calcule
e , escolha/obtenha , e use a equação de Goodman para obter o que precisa. Se quiser, me envia o enunciado completo (com figura) que eu faço tudo nos detalhes algébricos até o resultado final.