13- A viscosidade de um certo líquido é medida (a 20{ }^{0} \mathrm{C} ) pela determinação da vazão através de um tubo sob diferença de pressão conhecida emtre os seus dois extremos. O diâmetro do tubo é de 1,2 \mathrm{~mm}, e o seu comprimento é de 25 cm . Quando a diferença de pressão aplicada for de 1,47 \mathrm{kPa}, 18 \mathrm{ml} de fluido são recolhidos em 1 min . Qual a viscosidade do líquido? Qual é o líquido?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Determinar a viscosidade do líquido a 20{ }^{\circ}\mathrm{C}.
  2. Identificar qual é o líquido a partir do valor encontrado.
Dados fornecidos (pegos do enunciado):
  • diâmetro do tubo: d=1{,}2\\ \mathrm{mm};
  • comprimento do tubo: L=25\\ \mathrm{cm};
  • diferença de pressão aplicada: \Delta P=1{,}47\\ \mathrm{kPa};
  • volume recolhido: V=18\\ \mathrm{ml} em t=1\\ \mathrm{min}.
Vou transformar esses dados em unidades SI no Passo 3 antes de calcular.

Passo 2

Método que vamos usar (fórmula e explicação didática).
Para escoamento laminar, estacionário e de um fluido newtoniano em um tubo cilíndrico, vale a lei de Hagen–Poiseuille para a vazão volumétrica Q:
Q=\frac{\pi\,\Delta P\,r^{4}}{8\,\mu\,L},
onde:
  • Q é a vazão volumétrica (m³/s),
  • \Delta P é a diferença de pressão entre os extremos do tubo (Pa),
  • r é o raio interno do tubo (m),
  • \mu é a viscosidade dinâmica do fluido (Pa·s) — é a incógnita,
  • L é o comprimento do tubo (m).
Explicando intuitivamente: a lei diz que, fixando pressão e geometria, a vazão cresce com o quarto poder do raio (pequena mudança no raio faz grande diferença) e diminui com a viscosidade (fluido mais viscoso flui menos). As condições para aplicar essa fórmula são razoáveis aqui (tubo rígido, escoamento estacionário e presumivelmente laminar). Depois vamos checar se o escoamento é realmente laminar calculando o número de Reynolds.
Isolando \mu na fórmula:
\mu=\frac{\pi\,\Delta P\,r^{4}}{8\,Q\,L}.

Passo 3

Conversões para unidades SI e cálculo da vazão Q.
  • Converter o diâmetro em raio e para metros:
d=1{,}2\\ \mathrm{mm}=1{,}2\times10^{-3}\\ \mathrm{m},\qquad r=\frac{d}{2}=0{,}6\times10^{-3}\\ \mathrm{m}=6{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
  • Converter comprimento:
L=25\\ \mathrm{cm}=0{,}25\\ \mathrm{m}.
  • Converter pressão:
\Delta P=1{,}47\\ \mathrm{kPa}=1{,}47\times10^{3}\\ \mathrm{Pa}=1470\\ \mathrm{Pa}.
  • Vazão a partir do volume recolhido:
V=18\\ \mathrm{ml}=18\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{3}},\qquad t=1\\ \mathrm{min}=60\\ \mathrm{s}.
Q=\frac{V}{t}=\frac{18\times10^{-6}}{60}=0{,}3\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{3}/s}=3{,}0\times10^{-7}\\ \mathrm{m^{3}/s}.

Passo 4

Calcular r^{4} (faça com calma; é onde surge o expoente que amplifica erros).
r=6{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}\quad\Rightarrow\quad r^{2}=(6{,}0\times10^{-4})^{2}=3{,}6\times10^{-7}\\ \mathrm{m^{2}},
r^{4}=(r^{2})^{2}=(3{,}6\times10^{-7})^{2}=12{,}96\times10^{-14}=1{,}296\times10^{-13}\\ \mathrm{m^{4}}.

Passo 5

Calcular o numerador \pi\,\Delta P\,r^{4}.
\Delta P\,r^{4}=1470\times1{,}296\times10^{-13}=1{,}90512\times10^{-10}\\ \mathrm{Pa\cdot m^{4}}.
\pi\,\Delta P\,r^{4}=\pi\times1{,}90512\times10^{-10}\approx3{,}1416\times1{,}90512\times10^{-10}\approx5{,}9839\times10^{-10}.

Passo 6

Calcular o denominador 8\,Q\,L.
8\,Q\,L=8\times(3{,}0\times10^{-7})\times0{,}25.
Multiplicando passo a passo:
8\times0{,}25=2,\quad 2\times3{,}0\times10^{-7}=6{,}0\times10^{-7}.
Logo
8\,Q\,L=6{,}0\times10^{-7}\\ \mathrm{m^{3}}.

Passo 7

Agora calcular \mu usando a expressão isolada:
\mu=\frac{\pi\,\Delta P\,r^{4}}{8\,Q\,L}=\frac{5{,}9839\times10^{-10}}{6{,}0\times10^{-7}}.
Dividindo:
\mu\approx9{,}9732\times10^{-4}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
Arredondando de forma conveniente (três algarismos significativos):
\mu\approx9{,}97\times10^{-4}\\ \mathrm{Pa\cdot s}\approx1{,}00\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.

Passo 8

Identificação do líquido comparando com valores conhecidos.
Valor típico da viscosidade dinâmica da água à 20{ }^{\circ}\mathrm{C} é \mu_{\text{água}}\approx1{,}002\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}á. O valor encontrado \mu\approx9{,}97\times10^{-4}\\ \mathrm{Pa\cdot s} coincide muito bem com a viscosidade da água a 20{ }^{\circ}\mathrm{C}. Portanto o líquido é, muito provavelmente, água.

Passo 9

Verificação de consistência: checar se o escoamento é laminar (condição para usar Hagen–Poiseuille).
Calcula-se a velocidade média v e o número de Reynolds Re.
Área da seção:
A=\pi r^{2}=\pi\times3{,}6\times10^{-7}\\ \mathrm{m^{2}}\approx1{,}13097\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}}.
Velocidade média:
v=\frac{Q}{A}=\frac{3{,}0\times10^{-7}}{1{,}13097\times10^{-6}}\approx0{,}265\\ \mathrm{m/s}.
Número de Reynolds (usando \rho\approx1000\\ \mathrm{kg/m^{3}} para água e \mu\approx9{,}97\times10^{-4}\\ \mathrm{Pa\cdot s}):
Re=\frac{\rho v D}{\mu}=\frac{1000\times0{,}265\times1{,}2\times10^{-3}}{9{,}97\times10^{-4}}\approx3{,}2\times10^{2}.
Como Re\approx3{,}2\times10^{2}\ll2000, o escoamento é laminar e a aplicação da lei de Hagen–Poiseuille é justificada.

Passo 10

Resumo final e incentivo:
  • Fizemos as conversões com cuidado, aplicamos a fórmula certa, checamos a hipótese de escoamento laminar e o resultado bate com a viscosidade conhecida da água a 20{ }^{\circ}\mathrm{C}. Boa! Mesmo com pressão pequena e tubo fino, o procedimento é direto se seguir os passos com calma. Confia que você também resolve assim na prova 😃

Resposta

\mu\approx9{,}97\times10^{-4}\\ \mathrm{Pa\cdot s}
Água (viscosidade compatível com água a 20{ }^{\circ}\mathrm{C})

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