Dado o campo vetorial \mathbf{E}=4 x y^{2} \cos 2 x a_{x}+2 x y \operatorname{sen} 2 x a_{y}+y^{2} \operatorname{sen} 2 x a_{z} para a região |x|,|y| \mathrm{e}|z| menores que 2, encontre:
a região na qual \mathbf{E}=0.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
\mathbf{E}=4 x y^{2}\cos(2x)\,\mathbf{a}_{x}+2 x y\sin(2x)\,\mathbf{a}_{y}+y^{2}\sin(2x)\,\mathbf{a}_{z}
e pede a região (no domínio |x|,<2,\;|y|<2,\;|z|<2) onde \mathbf{E}=0.
As perguntas diretas são:
  • Quais pontos (x,y,z) na região dada satisfazem \mathbf{E}(x,y,z)=\mathbf{0}?
Informações relevantes fornecidas:
  • Componentes escalares do campo: E_x=4x y^{2}\cos(2x),\qquad E_y=2x y\sin(2x),\qquad E_z=y^{2}\sin(2x).
  • O domínio é o conjunto de pontos com |x|<2,\;|y|<2,\;|z|<2.
  • Queremos as coordenadas que tornam simultaneamente E_x=0,\;E_y=0,\;E_z=0.

Passo 2

Estratégia de resolução (breve): para achar onde o vetor é nulo devemos resolver o sistema de equações escalares E_x=0,\;E_y=0,\;E_z=0. Vou começar pela equação mais simples/útil, que é E_z=0, porque ela se fatoriza de forma fácil e reduz os casos.
Escrevendo E_z=0:
E_z=y^{2}\sin(2x)=0.
Uma multiplicação é zero quando pelo menos um dos fatores é zero, então temos as possibilidades:
  • y=0, ou
  • \sin(2x)=0.
Vou tratar cada caso separadamente.

Passo 3

Caso 1: y=0.
Se y=0, então
E_x=4x\,(0)^{2}\cos(2x)=0,\qquad E_y=2x\cdot 0\cdot\sin(2x)=0,\qquad E_z=0.
Portanto, qualquer ponto com y=0 (e com |x|<2,\;|z|<2) satisfaz \mathbf{E}=0. Em notação: todos os pontos (x,0,z) com |x|<2,\;|z|<2 estão na solução.

Passo 4

Caso 2: \sin(2x)=0.
Resolver \sin(2x)=0
2x=n\pi\quad\Rightarrow\quad x=\frac{n\pi}{2},\qquad n\in\mathbb{Z}.
Mas devemos respeitar o domínio |x|<2. Então precisamos dos inteiros n tais que
\left|\frac{n\pi}{2}\right|<2\quad\Longleftrightarrow\quad |n|<\frac{4}{\pi}\approx1{,}273.
Assim os únicos n inteiros possíveis são n=-1,0,1, dando os valores
x\in\left\{-\frac{\pi}{2},\,0,\,\frac{\pi}{2}\right\},
todos obedecendo |x|<2.
Agora, com \sin(2x)=0, verificamos as outras componentes:
E_y=2x y\sin(2x)=0\quad\text{(automático)},\qquad E_x=4x y^{2}\cos(2x).á
Para E_x=0 nessa situação precisamos de 4x y^{2}\cos(2x)=0. Ou seja, dado que \cos(2x)=\pm1 quando \sin(2x)=0, as possibilidades são:
  • y=0 (já visto no Caso 1), ou
  • x=0.
Entre os valores de x obtidos ( -\tfrac{\pi}{2},0,\tfrac{\pi}{2}), apenas x=0 satisfaz a segunda alternativa x=0. Para x=\pm\tfrac{\pi}{2} temos \cos(2x)=\cos(\pm\pi)=-1 e x\neq0, então E_x só seria zero se y=0 (que volta ao Caso 1). Portanto, o novo conjunto de soluções que surge aqui é a família de pontos com x=0 (e qualquer y,z no domínio).

Passo 5

Juntando os resultados dos dois casos:
  • Todos os pontos com y=0 (ou seja, o plano \{(x,0,z)\} dentro do domínio) são soluções.
  • Todos os pontos com x=0 (ou seja, o plano \{(0,y,z)\} dentro do domínio) também são soluções.
  • Não há outras soluções com x\neq0 e y\neq0 porque então E_z=y^{2}\sin(2x)\neq0.
Observe que não há restrição sobre z: as componentes do campo não dependem de z, portanto qualquer valor de z com |z|<2 é permitido quando as condições em x,y são satisfeitas.
Intuição rápida: o campo é formado por fatores y^{2} e y e por funções trigonométricas de 2x; anular o vetor exige que esses fatores anulem todas as componentes simultaneamente, o que só ocorre quando y=0 ou quando x=0 (no caso especial vindo de \sin(2x)=0).

Resposta

\{(x,y,z)\mid |x|<2,\;|y|<2,\;|z|<2\text{ e }(x=0\\ \text{ou}\\ y=0)\}

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