A
-diameter,
-high vertical cylinder is completely filled with gasoline whose density is
. The tank is now rotated about its vertical axis at a rate of 90 rpm , while being accelerated upward at
. Determine
the difference between the pressures at the centers of the bottom and top surfaces
the difference between the pressures at the centers of the bottom and top surfaces
Passo 1
O que o problema pede: determinar a diferença entre as pressões no centro da face inferior (fundo) e no centro da face superior (topo) do cilindro enquanto ele gira e é acelerado para cima. Ou seja, queremos
Dados fornecidos (vou listar exatamente o que temos):
Observação importante (do enunciado e da figura): o pedido é a diferença entre pressões nos centros das faces planares superior e inferior (ou seja, pontos no eixo do cilindro, com coordenada radial
).
Passo 2
Princípio físico e equação fundamental: em um referencial que gira com o líquido e acelera verticalmente com o tanque, as forças volumétricas efetivas por unidade de massa que geram gradiente de pressão são:
- gravidade atuando para baixo com aceleração
, - força inercial devido à aceleração do referencial para cima
→ na equação aparece como uma aceleração efetiva adicional para baixo de magnitude , - força centrífuga devido à rotação, que é radial e tem magnitude
para um ponto a distância radial do eixo.
A equação do equilíbrio hidrostático no referencial não-inercial torna-se, em vetores,
onde
é o versor radial (para fora) e
é o versor vertical positivo para cima. Aqui eu explico cada termo:
-
: aceleração centrífuga, aponta radialmente para fora; depende de ; -
: aceleração efetiva no sentido vertical; o sinal menos indica que a pressão aumenta quando nos deslocamos para baixo (z decresce).
Como estamos interessados nos centros das faces superior e inferior, esses pontos estão no eixo do cilindro, isto é, em
. Portanto, no eixo a componente centrífuga é nula (pois
quando
). Resultado prático: a rotação não contribui para a diferença de pressão entre os pontos no eixo — só conta a componente vertical.
Ainda assim, por completude, convertemos a rotação para rad/s (mesmo que não vá entrar no cálculo final):
Mas, reforçando, a contribuição centrífuga é zero no eixo (
).
Passo 3
Equação para variação vertical de pressão no eixo: como a única contribuição vertical é
, a derivada da pressão em relação à coordenada vertical
(tomando
positivo para cima) é
Para obter a diferença entre fundo (altura menor) e topo (altura maior) integramos ao longo de
. Tomando
e
,
Como
é constante, a integral é simples:
Isso tem um significado físico direto: a pressão aumenta com a “profundidade” efetiva
sob a aceleração total
.
Passo 4
Agora substituímos os valores numéricos. Vou usar
e os dados fornecidos:
Portanto
Faço a conta em passos:
Somando,
Arredondando de forma prática,
(ou
).
Passo 5
Interpretação rápida e dica de prova: a rotação muda a superfície livre e produz variação radial de pressão, mas no eixo (centro) a pressão varia apenas com a componente vertical efetiva
. Então, sempre que os pontos estiverem no eixo, você pode ignorar o termo centrífugo — isso te salva tempo numa prova.