A 1-\mathrm{m}-diameter, 2-\mathrm{m}-high vertical cylinder is completely filled with gasoline whose density is 740 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. The tank is now rotated about its vertical axis at a rate of 90 rpm , while being accelerated upward at 5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Determine
the difference between the pressures at the centers of the bottom and top surfaces

Passo 1

O que o problema pede: determinar a diferença entre as pressões no centro da face inferior (fundo) e no centro da face superior (topo) do cilindro enquanto ele gira e é acelerado para cima. Ou seja, queremos
\Delta p = p_{\text{fundo}}-p_{\text{topo}}.
Dados fornecidos (vou listar exatamente o que temos):
\text{diâmetro} = 1\\ \mathrm{m}\quad\Rightarrow\quad \text{raio }R=\tfrac{1}{2}\\ \mathrm{m},â
\text{altura (distância vertical entre topo e fundo)} = h=2\\ \mathrm{m},â
\rho = 740\\ \mathrm{kg/m^{3}},
\text{velocidade de giro} = 90\\ \mathrm{rpm},
\text{aceleração para cima} = a=5\\ \mathrm{m/s^{2}}.çã
Observação importante (do enunciado e da figura): o pedido é a diferença entre pressões nos centros das faces planares superior e inferior (ou seja, pontos no eixo do cilindro, com coordenada radial r=0).

Passo 2

Princípio físico e equação fundamental: em um referencial que gira com o líquido e acelera verticalmente com o tanque, as forças volumétricas efetivas por unidade de massa que geram gradiente de pressão são:
  • gravidade atuando para baixo com aceleração g,
  • força inercial devido à aceleração do referencial para cima a → na equação aparece como uma aceleração efetiva adicional para baixo de magnitude a,
  • força centrífuga devido à rotação, que é radial e tem magnitude \omega^{2}r para um ponto a distância radial r do eixo.
A equação do equilíbrio hidrostático no referencial não-inercial torna-se, em vetores,
\nabla p = \rho\big(\omega^{2}r\,\mathbf{e}_r - (g+a)\,\mathbf{k}\big),
onde \mathbf{e}_r é o versor radial (para fora) e \mathbf{k} é o versor vertical positivo para cima. Aqui eu explico cada termo:
  • \omega^{2}r\,\mathbf{e}_r: aceleração centrífuga, aponta radialmente para fora; depende de r;
  • -(g+a)\,\mathbf{k}: aceleração efetiva no sentido vertical; o sinal menos indica que a pressão aumenta quando nos deslocamos para baixo (z decresce).
Como estamos interessados nos centros das faces superior e inferior, esses pontos estão no eixo do cilindro, isto é, em r=0. Portanto, no eixo a componente centrífuga é nula (pois \omega^{2}r=0 quando r=0). Resultado prático: a rotação não contribui para a diferença de pressão entre os pontos no eixo — só conta a componente vertical.
Ainda assim, por completude, convertemos a rotação para rad/s (mesmo que não vá entrar no cálculo final):
90\\ \mathrm{rpm} = \frac{90}{60}\\ \mathrm{rev/s}=1{,}5\\ \mathrm{rev/s},\quad \omega = 2\pi\cdot 1{,}5 = 3\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx 9{,}4248\\ \mathrm{rad/s}.
Mas, reforçando, a contribuição centrífuga é zero no eixo ( r=0).

Passo 3

Equação para variação vertical de pressão no eixo: como a única contribuição vertical é -(g+a), a derivada da pressão em relação à coordenada vertical z (tomando z positivo para cima) é
\frac{dp}{dz} = -\rho(g+a).
Para obter a diferença entre fundo (altura menor) e topo (altura maior) integramos ao longo de z. Tomando z_{\text{topo}} e z_{\text{fundo}}=z_{\text{topo}}-h,
p_{\text{fundo}}-p_{\text{topo}}=\int_{z_{\text{topo}}}^{z_{\text{fundo}}}\frac{dp}{dz}\,dz = \int_{z_{\text{topo}}}^{z_{\text{topo}}-h} -\rho(g+a)\,dz.
Como \rho(g+a) é constante, a integral é simples:
\Delta p = p_{\text{fundo}}-p_{\text{topo}} = \rho(g+a)\,h.
Isso tem um significado físico direto: a pressão aumenta com a “profundidade” efetiva h sob a aceleração total (g+a).

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos. Vou usar g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}} e os dados fornecidos:
\rho=740\\ \mathrm{kg/m^{3}},\quad g+a = 9{,}81+5 = 14{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}},\quad h=2\\ \mathrm{m}.
Portanto
\Delta p = 740\cdot 14{,}81\cdot 2.
Faço a conta em passos:
14{,}81\cdot 2 = 29{,}62,
29{,}62\cdot 740 = 29{,}62\cdot(700+40)=29{,}62\cdot700+29{,}62\cdot40.
29{,}62\cdot700 = 20\,734,\qquad 29{,}62\cdot40 = 1\,184{,}8.
Somando,
\Delta p = 20\,734 + 1\,184{,}8 = 21\,918{,}8\\ \mathrm{Pa}.
Arredondando de forma prática, \Delta p \approx 2{,}19\times 10^{4}\\ \mathrm{Pa} (ou 21{,}9\\ \mathrm{kPa}).

Passo 5

Interpretação rápida e dica de prova: a rotação muda a superfície livre e produz variação radial de pressão, mas no eixo (centro) a pressão varia apenas com a componente vertical efetiva g+a. Então, sempre que os pontos estiverem no eixo, você pode ignorar o termo centrífugo — isso te salva tempo numa prova.

Resposta

21\,918{,}8\\ \mathrm{Pa}

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