1.1515 (USP)

Mostre que rotações preservam norma:
|R v|=|v|

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado.
  • Pedido: mostrar que, para uma rotação R e para qualquer vetor v, vale |R v| = |v|.
  • Informações relevantes fornecidas implicitamente pelo enunciado:
    • R é uma matriz de rotação (matriz quadrada atuando em \mathbb{R}^n).
    • v é um vetor arbitrário em \mathbb{R}^n.

Passo 2

Definições básicas que vamos usar (passo-a-passo, sem pular etapas).
  • Produto interno (produto escalar) entre dois vetores x,y\in\mathbb{R}^n é definido por
x\cdot y = x^T y,
onde x^T é a transposta de x.
  • Norma euclidiana (comprimento) de um vetor x é definida por
|x| = \sqrt{x\cdot x} = \sqrt{x^T x}.
  • Observação: x^T x é um número não negativo e |x|\ge 0.

Passo 3

Propriedade-chave de uma matriz de rotação (explicada com calma).
  • Por definição (ou por propriedade conhecida) uma matriz de rotação R é uma matriz ortogonal com determinante +1. A propriedade ortogonal significa exatamente que as colunas (e também as linhas) de R formam um conjunto ortonormal.
  • Ortogonalidade significa
R^T R = I,
onde I é a matriz identidade. Em componentes, a entrada (i,j) de R^T R é o produto escalar entre a i-ésima e a j-ésima coluna de R; para uma matriz de rotação essas colunas têm produto escalar 0 quando i\neq j e 1 quando i=j.

Passo 4

Cálculo da norma de Rv usando as definições e a propriedade ortogonal.
  • Começamos calculando o quadrado da norma de Rv, porque fica mais direto trabalhar com produto interno:
|R v|^2 = (R v)\cdot (R v).
  • Reescrevendo o produto escalar em forma matricial:
(R v)\cdot (R v) = (R v)^T (R v) = v^T R^T R v.
  • Agora usamos a propriedade ortogonal R^T R = I:
v^T R^T R v = v^T I v = v^T v = v\cdot v = |v|^2.
  • Portanto obtivemos
|R v|^2 = |v|^2.

Passo 5

Concluir tirando raiz quadrada e comentar sutilezas.
  • Como normas são não negativas, ao tirar a raiz quadrada de ambos os lados obtemos
|R v| = |v|.
  • Comentário extra (útil na prova): a propriedade usada foi R^T R = I. Isso vale para qualquer matriz ortogonal (incluindo reflexões); no caso específico de rotações ainda temos \det R=+1, mas a conservação da norma depende só da ortogonalidade, não do sinal do determinante.

Resposta

|R v| = |v|

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