1.1515 (USP)
Mostre que rotações preservam norma:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado.
- Pedido: mostrar que, para uma rotação
e para qualquer vetor , vale . - Informações relevantes fornecidas implicitamente pelo enunciado:
-
é uma matriz de rotação (matriz quadrada atuando em ). -
é um vetor arbitrário em .
-
Passo 2
Definições básicas que vamos usar (passo-a-passo, sem pular etapas).
- Produto interno (produto escalar) entre dois vetores
é definido por
onde
é a transposta de
.
- Norma euclidiana (comprimento) de um vetor
é definida por
- Observação:
é um número não negativo e .
Passo 3
Propriedade-chave de uma matriz de rotação (explicada com calma).
- Por definição (ou por propriedade conhecida) uma matriz de rotação
é uma matriz ortogonal com determinante . A propriedade ortogonal significa exatamente que as colunas (e também as linhas) de formam um conjunto ortonormal. - Ortogonalidade significa
onde
é a matriz identidade. Em componentes, a entrada
de
é o produto escalar entre a
-ésima e a
-ésima coluna de
; para uma matriz de rotação essas colunas têm produto escalar
quando
e
quando
.
Passo 4
Cálculo da norma de
usando as definições e a propriedade ortogonal.
- Começamos calculando o quadrado da norma de
, porque fica mais direto trabalhar com produto interno:
- Reescrevendo o produto escalar em forma matricial:
- Agora usamos a propriedade ortogonal
:
- Portanto obtivemos
Passo 5
Concluir tirando raiz quadrada e comentar sutilezas.
- Como normas são não negativas, ao tirar a raiz quadrada de ambos os lados obtemos
- Comentário extra (útil na prova): a propriedade usada foi
. Isso vale para qualquer matriz ortogonal (incluindo reflexões); no caso específico de rotações ainda temos , mas a conservação da norma depende só da ortogonalidade, não do sinal do determinante.