1.1616 (UNICAMP)
Mostre que o produto interno é preservado:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para uma transformação linear
que representa uma rotação (ou mais geralmente uma matriz ortogonal) e quaisquer vetores
e
em
, vale
Informações relevantes que serão usadas:
-
e são vetores coluna em . -
é uma matriz ortogonal (o que inclui matrizes de rotação). Isso significa que
onde
é a transposta de
e
é a matriz identidade
.
- A definição do produto interno (produto escalar) entre vetores será usada na forma matricial.
Passo 2
Definição do produto escalar em forma matricial (aquela que sempre salva tempo na prova):
Aqui
é a transposta do vetor coluna
, ou seja um vetor linha, e a multiplicação
resulta em um número real. Em componentes, essa definição equivale a
onde
e
são as componentes de
e
.
Passo 3
Uma identidade útil sobre transpostas que vamos usar é
para quaisquer matrizes compatíveis
e
. Aplicando isso ao produto
(onde
é visto como matriz coluna), obtemos
Expliquei isso porque em provas algumas pessoas se esquecem que o vetor transposto muda a ordem quando aparece multiplicado por uma matriz.
Passo 4
Agora escrevemos o produto escalar
na forma matricial e usamos a identidade do passo anterior:
Substituindo
obtemos
Passo 5
Usamos a propriedade de ortogonalidade de
, isto é
. Assim
E, lembrando a definição do produto escalar em forma matricial,
. Portanto conseguimos
que é justamente o que queríamos provar.
Passo 6
(Para ficar ainda mais claro) Prova alternativa em componentes, que às vezes é pedida em provas sem usar notação matricial: escreva
. Então
Reorganizando somas:
Mas para uma matriz ortogonal a soma
é
(delta de Kronecker), porque as colunas de
são ortonormais. Assim sobra
Mesma conclusão, só que trabalhando com componentes.
Passo 7
Um exemplo concreto para intuir: em
a rotação de ângulo
tem
e pode-se verificar que
. Aplicando a prova do passo 4 chega-se imediatamente à preservação do produto escalar; geometricamente isso significa que rotações preservam comprimentos e ângulos — o interior do triângulo não muda, só gira.]
Passo 8
Resumo final: a preservação do produto escalar decorre da propriedade matricial
das matrizes ortogonais e da representação do produto escalar como
. Isso termina a demonstração.