1.1616 (UNICAMP)

Mostre que o produto interno é preservado:
(R u) \cdot(R v)=u \cdot v

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para uma transformação linear R que representa uma rotação (ou mais geralmente uma matriz ortogonal) e quaisquer vetores u e v em \mathbb{R}^n, vale
(Ru)\cdot(Rv)=u\cdot v.
Informações relevantes que serão usadas:
  • u e v são vetores coluna em \mathbb{R}^n.
  • R é uma matriz ortogonal (o que inclui matrizes de rotação). Isso significa que
R^{T}R=I,
onde R^{T} é a transposta de R e I é a matriz identidade n\times n.
  • A definição do produto interno (produto escalar) entre vetores será usada na forma matricial.

Passo 2

Definição do produto escalar em forma matricial (aquela que sempre salva tempo na prova):
u\cdot v = u^{T}v.
Aqui u^{T} é a transposta do vetor coluna u, ou seja um vetor linha, e a multiplicação u^{T}v resulta em um número real. Em componentes, essa definição equivale a
u\cdot v=\sum_{i=1}^{n} u_i v_i,
onde u_i e v_i são as componentes de u e v.

Passo 3

Uma identidade útil sobre transpostas que vamos usar é
(AB)^{T}=B^{T}A^{T}
para quaisquer matrizes compatíveis A e B. Aplicando isso ao produto Ru (onde u é visto como matriz coluna), obtemos
(Ru)^{T}=u^{T}R^{T}.
Expliquei isso porque em provas algumas pessoas se esquecem que o vetor transposto muda a ordem quando aparece multiplicado por uma matriz.

Passo 4

Agora escrevemos o produto escalar (Ru)\cdot(Rv) na forma matricial e usamos a identidade do passo anterior:
(Ru)\cdot(Rv)=(Ru)^{T}(Rv).
Substituindo (Ru)^{T}=u^{T}R^{T} obtemos
(Ru)^{T}(Rv)=u^{T}R^{T}Rv.

Passo 5

Usamos a propriedade de ortogonalidade de R, isto é R^{T}R=I. Assim
u^{T}R^{T}Rv = u^{T}I v = u^{T}v.
E, lembrando a definição do produto escalar em forma matricial, u^{T}v=u\cdot v. Portanto conseguimos
(Ru)\cdot(Rv)=u\cdot v,
que é justamente o que queríamos provar.

Passo 6

(Para ficar ainda mais claro) Prova alternativa em componentes, que às vezes é pedida em provas sem usar notação matricial: escreva (Ru)_i=\sum_{j}R_{ij}u_j. Então
(Ru)\cdot(Rv)=\sum_{i=1}^{n}(Ru)_i (Rv)_i =\sum_{i=1}^{n}\Big(\sum_{j=1}^{n}R_{ij}u_j\Big)\Big(\sum_{k=1}^{n}R_{ik}v_k\Big).
Reorganizando somas:
=\sum_{j=1}^{n}\sum_{k=1}^{n} u_j v_k \Big(\sum_{i=1}^{n}R_{ij}R_{ik}\Big).
Mas para uma matriz ortogonal a soma \sum_{i}R_{ij}R_{ik} é \delta_{jk} (delta de Kronecker), porque as colunas de R são ortonormais. Assim sobra
\sum_{j,k} u_j v_k \delta_{jk}=\sum_{j} u_j v_j = u\cdot v.
Mesma conclusão, só que trabalhando com componentes.

Passo 7

Um exemplo concreto para intuir: em \mathbb{R}^2 a rotação de ângulo \theta tem
R=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\[4pt]\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix},
e pode-se verificar que R^{T}R=I. Aplicando a prova do passo 4 chega-se imediatamente à preservação do produto escalar; geometricamente isso significa que rotações preservam comprimentos e ângulos — o interior do triângulo não muda, só gira.]

Passo 8

Resumo final: a preservação do produto escalar decorre da propriedade matricial R^{T}R=I das matrizes ortogonais e da representação do produto escalar como u^{T}v. Isso termina a demonstração.

Resposta

(Ru)\cdot(Rv)=u\cdot v

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