Q 134 Seja y=f(x) uma função.
(a) Defina o incremento ou acréscimo de x, De<a x;
(b) Defina o incremento ou acréscimo de y, De<a y, quando existe algum incremento De<a x em x;
(c) Interprete, geometricamente, a razão De<a yDe<a x;
(d) Defina os diferenciais d x e d y;
(e) Estabeleça uma fórmula para cálculos aproximados, com o uso da derivada e dos diferenciais;
(f) Com uma aproximação de seis casas decimais, use a fórmula obtida no item anterior, para obter as seguintes aproximações:
(f1) raiz9,1;
(f2) raiz8,9;
(f3) raiz[3]8,1;
(f4) raiz[3]7,9;
(f5) sen(1^circ);
(f6) sen(2^circ);
(f7) cos (1^circ);
(f8) tg(59^circ 04^prime 30^prime prime);

Passo 1

O enunciado pede primeiro para definirmos os incrementos de variável e seus diferenciais, interpretar geometricamente a razão De<a yDe<a x e obter a fórmula de aproximação linear usando a derivada. Em seguida, devemos aplicar essa fórmula para aproximar, com seis casas decimais, raízes e funções trigonométricas em pontos próximos a valores conhecidos.

Passo 2

O incremento ou acréscimo de x é definido por
De<a x = x - x0,
onde x0 é um ponto de partida e x o ponto de chegada. Se existe esse incremento De<a x em x, o incremento em y=f(x) é
De<a y = f(x0 + De<a x) - f(x0)

Passo 3

Geometricamente, a razão
De<a yDe<a x
é o coeficiente angular da reta secante ao gráfico de y=f(x) que passa por l(x0,,f(x0)r) e por l(x0+De<a x,,f(x0+De<a x)r).

Passo 4

Os diferenciais dx e dy são quantidades infinitesimais tais que dx corresponde a um pequeno incremento em x e
dy = f'(x0),dx,
onde f'(x0) é a derivada de f em x0.

Passo 5

Para cálculos aproximados usa-se a linearização de f em torno de x0:
f(x0 + De<a x)approx f(x0) + f'(x0),De<a x
Equivalentemente, escrevendo dx=De<a x e dy=f(x0+dx)-f(x0), temos
f(x0+dx)approx f(x0)+dy = f(x0)+f'(x0),dx

Passo 6

Aplicando essa fórmula às raízes:
raiz9,1: tome f(x)=raizx, x0=9, dx=0,1. Então f(x0)=3, f'(x0)=tfrac12raiz9=tfrac16, e
raiz9,1approx 3 + tfrac16cdot0,1 = 3 + 0,0166667 = 3,016667
raiz8,9: x0=9, dx=-0,1, f'(9)=tfrac16,
raiz8,9approx 3 + tfrac16cdot(-0,1)=3 - 0,0166667 = 2,983333
raiz[3]8,1: f(x)=x^1/3, x0=8, dx=0,1. Então f(8)=2, f'(8)=tfrac13cdot8^2/3=tfrac112,
raiz[3]8,1approx 2 + tfrac112cdot0,1 = 2 + 0,0083333 = 2,008333
raiz[3]7,9: dx=-0,1,
raiz[3]7,9approx 2 + tfrac112cdot(-0,1) = 2 - 0,0083333 = 1,991667

Passo 7

Agora para as funções trigonométricas, sempre em radianos:
: tome , , . Assim , ,
: ,
: , , , , ,
: aproxime em . Então . Como e , em temos , ,

Resposta

raiz9,1approx3,016667
raiz8,9approx2,983333
raiz[3]8,1approx2,008333
raiz[3]7,9approx1,991667
sen(1^circ)approx0,017453
sen(2^circ)approx0,034907
cos(1^circ)approx1,000000
tg(59^circ04'30'')approx1,667457

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