Q 134 Seja
uma função.
(a) Defina o incremento ou acréscimo de
;
(b) Defina o incremento ou acréscimo de
, quando existe algum incremento
em
;
(c) Interprete, geometricamente, a razão
;
(d) Defina os diferenciais
e
;
(e) Estabeleça uma fórmula para cálculos aproximados, com o uso da derivada e dos diferenciais;
(f) Com uma aproximação de seis casas decimais, use a fórmula obtida no item anterior, para obter as seguintes aproximações:
(f1)
;
(f2)
;
(f3)
;
(f4)
;
(f5)
;
(f6)
;
(f7)
;
(f8)
;
(a) Defina o incremento ou acréscimo de
(b) Defina o incremento ou acréscimo de
(c) Interprete, geometricamente, a razão
(d) Defina os diferenciais
(e) Estabeleça uma fórmula para cálculos aproximados, com o uso da derivada e dos diferenciais;
(f) Com uma aproximação de seis casas decimais, use a fórmula obtida no item anterior, para obter as seguintes aproximações:
(f1)
(f2)
(f3)
(f4)
(f5)
(f6)
(f7)
(f8)
Passo 1
O enunciado pede primeiro para definirmos os incrementos de variável e seus diferenciais, interpretar geometricamente a razão
e obter a fórmula de aproximação linear usando a derivada. Em seguida, devemos aplicar essa fórmula para aproximar, com seis casas decimais, raízes e funções trigonométricas em pontos próximos a valores conhecidos.
Passo 2
O incremento ou acréscimo de
é definido por
onde
é um ponto de partida e
o ponto de chegada. Se existe esse incremento
em
, o incremento em
é
Passo 3
Geometricamente, a razão
é o coeficiente angular da reta secante ao gráfico de
que passa por
e por
.
Passo 4
Os diferenciais
e
são quantidades infinitesimais tais que
corresponde a um pequeno incremento em
e
onde
é a derivada de
em
.
Passo 5
Para cálculos aproximados usa-se a linearização de
em torno de
:
Equivalentemente, escrevendo
e
, temos
Passo 6
Aplicando essa fórmula às raízes:
– : tome
,
,
. Então
,
, e
–
–
:
,
,
,
–
:
,
,
. Então
,
,
–
:
,
Passo 7
Agora para as funções trigonométricas, sempre em radianos:
– : tome
,
,
. Assim
,
,
–
–
:
,
–
:
,
,
,
, ,
–
: aproxime em
. Então
. Como e
, em
temos
,
,