Exercício 7 (E.M.1.29)
Seja
o complementar de uma bola aberta em um espaço métrico (
), em que
e
. Mostre que se
, então
.
Seja
Passo 1
Vamos relembrar o que temos: seja
um espaço métrico, fixe um ponto
e um raio
. Definimos
e consideramos
A distância de um ponto
a um subconjunto
é
Queremos mostrar que, se
, então necessariamente
.
Passo 2
Suponha, por contradição, que
. Então
, ou seja,
Mas, como
é o complementar de
, todo
satisfaz
Passo 3
Da condição anterior segue que, para todo
,
Isto é,
Passo 4
Chegamos a uma contradição com a hipótese
. Logo a suposição
é falsa, e devemos ter
.
Resposta
Concluímos que, necessariamente,
.