Exercício 7 (E.M.1.29)
Seja F:=Br(x)^c o complementar de uma bola aberta em um espaço métrico ( M, d ), em que x in M e r>0. Mostre que se d(x, F)=0, então x in F.

Passo 1

Vamos relembrar o que temos: seja l(M,dr) um espaço métrico, fixe um ponto xin M e um raio r>0. Definimos
Br(x)=yin M:d(x,y)<r,
e consideramos
F := Br(x)^c = yin M : d(x,y)>= r
A distância de um ponto x a um subconjunto F é
d(x,F) = inf,d(x,y):yin F
Queremos mostrar que, se d(x,F)=0, então necessariamente xin F.

Passo 2

Suponha, por contradição, que xnotin F. Então xin Br(x), ou seja,
d(x,x)<r
Mas, como F é o complementar de Br(x), todo yin F satisfaz
d(x,y)>= r

Passo 3

Da condição anterior segue que, para todo yin F,
d(x,y)>= r Longrightarrow infd(x,y):yin F>= r
Isto é,
d(x,F)>= r>0

Passo 4

Chegamos a uma contradição com a hipótese d(x,F)=0. Logo a suposição xnotin F é falsa, e devemos ter xin F.

Resposta

Concluímos que, necessariamente, xin F.

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