Exercício 8 (E.M.3.1)
Mostre que a fronteira de um conjunto aberto tem interior vazio. Reciprocamente, todo subconjunto fechado com interior vazio é fronteira de algum aberto em .
Passo 1
O enunciado pede duas coisas em topologia de espaços métricos (ou gerais):
Provar que a fronteira de um conjunto aberto tem interior vazio.
Provar que, se é fechado e tem interior vazio, então existe um aberto tal que .
Passo 2
Lembremos as definições básicas para qualquer :
– O interior é o maior aberto contido em .
– O fecho é o menor fechado que contém A.
– A fronteira partial A é
partial A ;=; A;setminus;A^circ
Passo 3
Mostrando que partial U tem interior vazio quando U é aberto.
Como U é aberto, temos U^circ=U e portanto
partial U ;=;U;setminus;U
Suponha, por contradição, que exista um ponto xinpartial U que seja interior de partial U. Então existe uma bola aberta B(x,r) tal que
B(x,r)subsetpartial U ;subset;U
Porém, como xin B(x,r)subsetU, qualquer vizinhança de x deve intersectar U. Em particular, a própria bola B(x,r) intersecta U. Mas isso contradiz B(x,r)subsetpartial U pois partial U e U são disjuntos. Logo não há ponto interior em partial U, isto é, l(partial Ur)^circ=varnothing.
Passo 4
Mostrando o recíproco: todo fechado X com interior vazio é fronteira de algum aberto.
Defina o aberto V=Msetminus X. Como X é fechado, V é aberto e
V^circ = V e V ;=; Msetminus X^circ
pela identidade Msetminus X=Msetminus X^circ. Mas X tem interior vazio, ou seja X^circ=varnothing, então
V=M
Logo a fronteira de V é
partial V =V;setminus;V^circ = M;setminus;V = X
Resposta
Se U é aberto então l(partial Ur)^circ=varnothing.
Se X é fechado e X^circ=varnothing, então X=partial(Msetminus X).