Exercício 8 (E.M.3.1)
Mostre que a fronteira de um conjunto aberto tem interior vazio. Reciprocamente, todo subconjunto fechado X subset M com interior vazio é fronteira de algum aberto em M.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas em topologia de espaços métricos (ou gerais):
  1. Provar que a fronteira de um conjunto aberto Usubset M tem interior vazio.
  2. Provar que, se Xsubset M é fechado e tem interior vazio, então existe um aberto Vsubset M tal que partial V=X.

Passo 2

Lembremos as definições básicas para qualquer Asubset M:
– O interior A^circ é o maior aberto contido em A.
– O fecho A é o menor fechado que contém A.
– A fronteira partial A é
partial A ;=; A;setminus;A^circ

Passo 3

Mostrando que partial U tem interior vazio quando U é aberto.
Como U é aberto, temos U^circ=U e portanto
partial U ;=;U;setminus;U
Suponha, por contradição, que exista um ponto xinpartial U que seja interior de partial U. Então existe uma bola aberta B(x,r) tal que
B(x,r)subsetpartial U ;subset;U
Porém, como xin B(x,r)subsetU, qualquer vizinhança de x deve intersectar U. Em particular, a própria bola B(x,r) intersecta U. Mas isso contradiz B(x,r)subsetpartial U pois partial U e U são disjuntos. Logo não há ponto interior em partial U, isto é, l(partial Ur)^circ=varnothing.

Passo 4

Mostrando o recíproco: todo fechado X com interior vazio é fronteira de algum aberto.
Defina o aberto V=Msetminus X. Como X é fechado, V é aberto e
V^circ = V e V ;=; Msetminus X^circ
pela identidade Msetminus X=Msetminus X^circ. Mas X tem interior vazio, ou seja X^circ=varnothing, então
V=M
Logo a fronteira de V é
partial V =V;setminus;V^circ = M;setminus;V = X

Resposta

  1. Se U é aberto então l(partial Ur)^circ=varnothing.
  2. Se X é fechado e X^circ=varnothing, então X=partial(Msetminus X).

Exercícios relacionados