9-128 The continuity equation is also known as
(a) Conservation of mass
(b) Conservation of energy
(c) Conservation of momentum
(d) Newton’s second law

Passo 1

O enunciado pergunta qual das alternativas corresponde ao que também é conhecido como “continuity equation”. As alternativas são:
(a) Conservation of mass
(b) Conservation of energy
(c) Conservation of momentum
(d) Newton’s second law
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • É uma questão objetiva (única alternativa correta).
  • Precisa identificar o nome equivalente (sinônimo) da expressão “continuity equation”.

Passo 2

O que significa, fisicamente, a palavra “continuity” no contexto de equações físicas? Sem ainda nomear fórmulas, intuitivamente: continuity relaciona como uma quantidade (que não pode ser criada nem destruída) se comporta quando escoa através de uma região. Em muitos problemas de fluidos, essa quantidade é a massa; portanto vamos formalizar isso com cuidado.
Definições e notação que vamos usar:
  • \rho(\mathbf{x},t) = densidade de massa do fluido no ponto \mathbf{x} e tempo t (unidade: massa por volume).
  • \mathbf{v}(\mathbf{x},t) = campo de velocidade do fluido (vetor).
  • V = volume fixo no espaço (controle) e \partial V sua superfície com vetor normal unitário externo \mathbf{n}.
  • dV = elemento de volume; dS = elemento de superfície.

Passo 3

Derivação da forma integral da equação de continuidade (passo a passo, como numa prova):
  1. Começamos pela conservação de massa aplicada ao volume de controle V: a variação temporal da massa dentro de V deve ser igual ao fluxo de massa que entra/parte pela superfície \partial V, com sinal adequado. A massa total no volume é \displaystyle \int_V \rho\, dV. Logo:
\frac{d}{dt}\int_V \rho\, dV + \text{(fluxo líquido de massa através de }\partial V)=0.íé
  1. O fluxo de massa através de \partial V é a integral de superfície da densidade vezes a velocidade normal ao contorno:
\int_{\partial V} \rho\, \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\, dS.
Aqui \mathbf{v}\cdot\mathbf{n} é a componente da velocidade que atravessa a superfície; produto por \rho dá massa por unidade de área por unidade de tempo.
  1. Substituindo, obtemos a forma integral da equação de continuidade:
\frac{d}{dt}\int_V \rho\, dV + \int_{\partial V} \rho\, \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\, dS = 0.

Passo 4

Transformação para a forma diferencial (local) — usar o Teorema da Divergência (Gauss):
O Teorema da Divergência diz que, para um campo vetorial \mathbf{F},
\int_{\partial V} \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\, dS = \int_V \nabla\cdot\mathbf{F}\, dV.
Aplicando com \mathbf{F}=\rho\mathbf{v} e levando a derivada temporal para dentro da integral (volume arbitrário), a equação integral torna-se
\int_V \left(\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho\mathbf{v})\right) dV = 0.
Como isso vale para qualquer volume V, o integrando deve ser zero ponto a ponto; obtemos a forma diferencial da equação de continuidade:
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho\mathbf{v})=0.
Explicação das parcelas:
  • \dfrac{\partial \rho}{\partial t} = taxa de variação local da densidade com o tempo.
  • \nabla\cdot(\rho\mathbf{v}) = divergência do fluxo de massa, representando quanto massa está saindo/entrando daquela vizinhança por advecção.

Passo 5

Casos especiais (úteis para identificar a equação rápida em prova):
  • Fluido incompressível: \rho constante no espaço e no tempo \Rightarrow \nabla\cdot\mathbf{v}=0. Em palavras: volume fluido que entra sai em igual quantidade.
  • Escoamento estacionário: \partial\rho/\partial t=0, então \nabla\cdot(\rho\mathbf{v})=0.
  • Em escoamento unidimensional incompressível através de um tubo com áreas A_1 e A_2, a continuidade reduz-se a
A_1 v_1 = A_2 v_2,
que é uma forma familiar usada em exercícios.

Passo 6

Por que a equação de continuidade é exatamente “conservation of mass” e não as outras alternativas?
  • Conservation of mass: é a declaração direta de que a massa total se conserva. A derivação acima mostra que a continuidade expressa precisamente isso — balanço local/integral de massa. Logo é sinônimo.
  • Conservation of energy: trata da energia (cinética, interna, trabalho, calor). Há uma equação separada (equação de energia, primeira lei da termodinâmica), diferente da continuidade.
  • Conservation of momentum: expressão para o balanço de quantidade de movimento leva às equações de movimento (por exemplo, as equações de Navier–Stokes) e decorre de aplicar a segunda lei de Newton a um volume de fluido; não é a equação de continuidade.
  • Newton’s second law: é a lei \mathbf{F}=m\mathbf{a} (forças e aceleração), que se relaciona com conservação de momento quando aplicada a sistemas, mas não é chamada de continuity equation.

Passo 7

Dica prática para prova (estilo amigo): sempre que você vir “continuity equation” ou \partial_t \rho + \nabla\cdot(\rho\mathbf{v})=0 ou a versão simples A_1 v_1=A_2 v_2, pense imediatamente em conservação de massa. Se a questão fala em energia, calor, ou trabalho, largue a continuidade e procure a equação de energia; se fala em forças e aceleração, é momento/segundo lei.

Resposta

(a) Conservation of mass

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