9-128 The continuity equation is also known as
(a) Conservation of mass
(b) Conservation of energy
(c) Conservation of momentum
(d) Newton’s second law
(a) Conservation of mass
(b) Conservation of energy
(c) Conservation of momentum
(d) Newton’s second law
Passo 1
O enunciado pergunta qual das alternativas corresponde ao que também é conhecido como “continuity equation”. As alternativas são:
(a) Conservation of mass
(b) Conservation of energy
(c) Conservation of momentum
(d) Newton’s second law
(a) Conservation of mass
(b) Conservation of energy
(c) Conservation of momentum
(d) Newton’s second law
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- É uma questão objetiva (única alternativa correta).
- Precisa identificar o nome equivalente (sinônimo) da expressão “continuity equation”.
Passo 2
O que significa, fisicamente, a palavra “continuity” no contexto de equações físicas? Sem ainda nomear fórmulas, intuitivamente: continuity relaciona como uma quantidade (que não pode ser criada nem destruída) se comporta quando escoa através de uma região. Em muitos problemas de fluidos, essa quantidade é a massa; portanto vamos formalizar isso com cuidado.
Definições e notação que vamos usar:
-
= densidade de massa do fluido no ponto e tempo (unidade: massa por volume). -
= campo de velocidade do fluido (vetor). -
= volume fixo no espaço (controle) e sua superfície com vetor normal unitário externo . -
= elemento de volume; = elemento de superfície.
Passo 3
Derivação da forma integral da equação de continuidade (passo a passo, como numa prova):
- Começamos pela conservação de massa aplicada ao volume de controle
: a variação temporal da massa dentro de deve ser igual ao fluxo de massa que entra/parte pela superfície , com sinal adequado. A massa total no volume é . Logo:
- O fluxo de massa através de
é a integral de superfície da densidade vezes a velocidade normal ao contorno:
Aqui
é a componente da velocidade que atravessa a superfície; produto por
dá massa por unidade de área por unidade de tempo.
- Substituindo, obtemos a forma integral da equação de continuidade:
Passo 4
Transformação para a forma diferencial (local) — usar o Teorema da Divergência (Gauss):
O Teorema da Divergência diz que, para um campo vetorial
,
Aplicando com
e levando a derivada temporal para dentro da integral (volume arbitrário), a equação integral torna-se
Como isso vale para qualquer volume
, o integrando deve ser zero ponto a ponto; obtemos a forma diferencial da equação de continuidade:
Explicação das parcelas:
-
= taxa de variação local da densidade com o tempo. -
= divergência do fluxo de massa, representando quanto massa está saindo/entrando daquela vizinhança por advecção.
Passo 5
Casos especiais (úteis para identificar a equação rápida em prova):
- Fluido incompressível:
constante no espaço e no tempo . Em palavras: volume fluido que entra sai em igual quantidade. - Escoamento estacionário:
, então . - Em escoamento unidimensional incompressível através de um tubo com áreas
e , a continuidade reduz-se a
que é uma forma familiar usada em exercícios.
Passo 6
Por que a equação de continuidade é exatamente “conservation of mass” e não as outras alternativas?
- Conservation of mass: é a declaração direta de que a massa total se conserva. A derivação acima mostra que a continuidade expressa precisamente isso — balanço local/integral de massa. Logo é sinônimo.
- Conservation of energy: trata da energia (cinética, interna, trabalho, calor). Há uma equação separada (equação de energia, primeira lei da termodinâmica), diferente da continuidade.
- Conservation of momentum: expressão para o balanço de quantidade de movimento leva às equações de movimento (por exemplo, as equações de Navier–Stokes) e decorre de aplicar a segunda lei de Newton a um volume de fluido; não é a equação de continuidade.
- Newton’s second law: é a lei
(forças e aceleração), que se relaciona com conservação de momento quando aplicada a sistemas, mas não é chamada de continuity equation.
Passo 7
Dica prática para prova (estilo amigo): sempre que você vir “continuity equation” ou
ou a versão simples
, pense imediatamente em conservação de massa. Se a questão fala em energia, calor, ou trabalho, largue a continuidade e procure a equação de energia; se fala em forças e aceleração, é momento/segundo lei.
Resposta
(a) Conservation of mass