7.136
O seguinte estado de deformação foi medido na superfície de uma placa fina. Sabendo que a superfície da placa está livre de tensão, determine (a) a direção e a intensidade das deformações principais, (b) a deformação de cisalhamento máxima no plano das deformações e (c) a deformação de cisalhamento máxima. (Use \nu=1 / 3).)
+720 μ
O seguinte estado de deformação foi medido na superfície de uma placa fina. Sabendo que a superfície da placa está livre de tensão, determine (a) a direção e a intensidade das deformações principais, (b) a deformação de cisalhamento máxima no plano das deformações e (c) a deformação de cisalhamento máxima. (Use \nu=1 / 3).)
+720 μ
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
(a) a direção e a intensidade das deformações principais;
(b) a deformação de cisalhamento máxima no plano das deformações;
(c) a deformação de cisalhamento máxima (no sentido global / tridimensional).
(a) a direção e a intensidade das deformações principais;
(b) a deformação de cisalhamento máxima no plano das deformações;
(c) a deformação de cisalhamento máxima (no sentido global / tridimensional).
Informações recebidas do enunciado (tal como você enviou): o enunciado diz que “o seguinte estado de deformação foi medido na superfície de uma placa fina. Sabendo que a superfície da placa está livre de tensão, determine (a), (b), (c). (Use
.)” E aparece apenas o fragmento “+720
” (parece ser “+720
”), mas não foi informado claramente a que componente isso se refere nem foram fornecidos os demais componentes. Portanto, os dados completos que eu tenho agora são insuficientes (recebi apenas um número parcial:
, sem indicar se é
,
ou outra coisa; não foi enviado
nem a figura completa).
Passo 2
O que é necessário para resolver o problema e por quê (explicação didática, para você poder aplicar na prova):
-
Para encontrar as deformações principais e suas direções num estado plano de deformação precisamos conhecer as componentes de deformação no plano:
e a deformação de cisalhamento de engenharia . Esses três números completamente definem o estado plano de deformação medido na superfície. -
Fórmulas que vamos usar (guarde — são as essenciais na prova):
- média das deformações:
Aqui é só a média das deformações normais nos eixos e . - amplitude auxiliar:
Essa é a metade da diferença entre as deformações principais (serve para calcular as principais). - deformações principais (intensidades):
Ou seja, e . Essas são as deformações normais máximas e mínimas no plano, e são as respostas do item (a) em intensidade. - direção das deformações principais (ângulo
entre o eixo e o eixo principal): A solução para vem dessa equação; lembrando de usar o quadrante correto (verifique o sinal de numerador e denominador). - deformação de cisalhamento máxima no plano das deformações (item (b)): é a maior deformação de cisalhamento de engenharia que aparece ao girar o plano dentro do próprio plano
. O valor máximo (em módulo) é Observação didática: para tensões a fórmula tem um fator , mas para deformações (usando no formato “engenharia”) a expressão acima dá o valor máximo de que aparece em algum plano dentro do plano . - deformação de cisalhamento máxima tridimensional (item (c)): para obter a máxima deformação de cisalhamento entre quaisquer planos (3D) precisamos das três deformações principais
. A máxima deformação de cisalhamento (engenharia) é a diferença entre a maior e a menor deformação principal: Portanto, para (c) precisamos também de , que no caso de uma superfície livre de tensão (placa delgada, condição de plano de tensões) se obtém obtendo primeiro e depois calculando as correspondentes principais completas.
- média das deformações:
-
Como obter
(ou ) sob a condição “superfície livre de tensão”: - “Superfície livre de tensão” indica condição de plane stress:
. - Para um material isotrópico linear, sob plane stress existe a relação (direta entre as componentes de deformação):
onde é o coeficiente de Poisson (aqui dado ). Esse é a deformação normal na direção (fora do plano), que nos permite formar o triplo de componentes e então calcular as três deformações principais tridimensionais (resolver a equação característica do tensor de deformação ou usar formulas/transformações apropriadas). Só com isso é possível calcular .
- “Superfície livre de tensão” indica condição de plane stress:
Passo 3
Por que não posso finalizar a resolução numérica agora:
- Você enviou apenas “+720
” (provavelmente quer dizer ), mas não ficou claro se este valor é , ou . Além disso não foram enviados os outros dois componentes necessários. Sem os três componentes de deformação no plano (ou sem a figura/tabela completa que mostraria esses componentes), não é possível aplicar as fórmulas acima para calcular numericamente , , nem . - Também não posso supor arbitrariamente valores ou atribuir o “+720
” a uma componente específica — isso poderia levar a resposta errada na sua prova.
Passo 4
O que eu faria passo a passo assim que todos os dados estivessem disponíveis (resumo prático para a prova, faça assim no caderno):
- copie os três valores
(em unidades coerentes, ex.: ); anote . - calcule
. - calcule
. - obtenha
e . - calcule
por (ver sinais para o quadrante). - obtenha
. - calcule
(condição de superfície livre de tensão). - com
(e assumindo que as componentes de cisalhamento out-of-plane são nulas na medição da superfície), determine as três deformações principais tridimensionais (resolver o problema de autovalores do tensor de deformação). Na prática de prova, muitas vezes será o menor entre se as componentes off-diagonais out-of-plane forem zero; então . - forneça as respostas numéricas pedidas e as direções associadas.
Resposta
Não é possível calcular: faltam dados (forneceu apenas o fragmento “+720
” sem indicar a que componente se refere e não foram fornecidos os outros dois componentes
nem a figura completa). Com os três componentes no plano eu aplicaria as fórmulas mostradas nos passos para obter (a)
e
, (b)
e (c)
(calculando antes
com
).