7.136
O seguinte estado de deformação foi medido na superfície de uma placa fina. Sabendo que a superfície da placa está livre de tensão, determine (a) a direção e a intensidade das deformações principais, (b) a deformação de cisalhamento máxima no plano das deformações e (c) a deformação de cisalhamento máxima. (Use \nu=1 / 3).)
+720 μ

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
(a) a direção e a intensidade das deformações principais;
(b) a deformação de cisalhamento máxima no plano das deformações;
(c) a deformação de cisalhamento máxima (no sentido global / tridimensional).
Informações recebidas do enunciado (tal como você enviou): o enunciado diz que “o seguinte estado de deformação foi medido na superfície de uma placa fina. Sabendo que a superfície da placa está livre de tensão, determine (a), (b), (c). (Use \nu=1/3.)” E aparece apenas o fragmento “+720 \mu” (parece ser “+720 \mu\varepsilon”), mas não foi informado claramente a que componente isso se refere nem foram fornecidos os demais componentes. Portanto, os dados completos que eu tenho agora são insuficientes (recebi apenas um número parcial: +720\\ \mu\varepsilon, sem indicar se é \varepsilon_x, \varepsilon_y ou outra coisa; não foi enviado \gamma_{xy} nem a figura completa).

Passo 2

O que é necessário para resolver o problema e por quê (explicação didática, para você poder aplicar na prova):
  • Para encontrar as deformações principais e suas direções num estado plano de deformação precisamos conhecer as componentes de deformação no plano: \varepsilon_x,\\ \varepsilon_y e a deformação de cisalhamento de engenharia \gamma_{xy}. Esses três números completamente definem o estado plano de deformação medido na superfície.
  • Fórmulas que vamos usar (guarde — são as essenciais na prova):
    • média das deformações: \bar{\varepsilon}=\frac{\varepsilon_x+\varepsilon_y}{2}Aqui \bar{\varepsilon} é só a média das deformações normais nos eixos x e y.
    • amplitude auxiliar: R=\sqrt{\left(\frac{\varepsilon_x-\varepsilon_y}{2}\right)^2+\left(\frac{\gamma_{xy}}{2}\right)^2}Essa R é a metade da diferença entre as deformações principais (serve para calcular as principais).
    • deformações principais (intensidades): \varepsilon_{1,2}=\bar{\varepsilon}\pm ROu seja, \varepsilon_1=\bar{\varepsilon}+R e \varepsilon_2=\bar{\varepsilon}-R. Essas são as deformações normais máximas e mínimas no plano, e são as respostas do item (a) em intensidade.
    • direção das deformações principais (ângulo \theta_p entre o eixo x e o eixo principal): \tan 2\theta_p=\frac{\gamma_{xy}}{\varepsilon_x-\varepsilon_y}A solução para \theta_p vem dessa equação; lembrando de usar o quadrante correto (verifique o sinal de numerador e denominador).
    • deformação de cisalhamento máxima no plano das deformações (item (b)): é a maior deformação de cisalhamento de engenharia que aparece ao girar o plano dentro do próprio plano xy. O valor máximo (em módulo) é \gamma_{\text{máx, plano}}=\sqrt{(\varepsilon_x-\varepsilon_y)^2+\gamma_{xy}^2} = \varepsilon_1-\varepsilon_2.áObservação didática: para tensões a fórmula tem um fator 1/2, mas para deformações (usando \gamma_{xy} no formato “engenharia”) a expressão acima dá o valor máximo de \gamma que aparece em algum plano dentro do plano xy.
    • deformação de cisalhamento máxima tridimensional (item (c)): para obter a máxima deformação de cisalhamento entre quaisquer planos (3D) precisamos das três deformações principais \varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3. A máxima deformação de cisalhamento (engenharia) é a diferença entre a maior e a menor deformação principal: \gamma_{\text{máx, 3D}}=\varepsilon_{\max}-\varepsilon_{\min}=\varepsilon_1-\varepsilon_3.áPortanto, para (c) precisamos também de \varepsilon_3, que no caso de uma superfície livre de tensão (placa delgada, condição de plano de tensões) se obtém obtendo primeiro \varepsilon_z e depois calculando as correspondentes principais completas.
  • Como obter \varepsilon_3 (ou \varepsilon_z) sob a condição “superfície livre de tensão”:
    • “Superfície livre de tensão” indica condição de plane stress: \sigma_z=0.
    • Para um material isotrópico linear, sob plane stress existe a relação (direta entre as componentes de deformação): \varepsilon_z=-\nu(\varepsilon_x+\varepsilon_y),onde \nu é o coeficiente de Poisson (aqui dado \nu=1/3). Esse \varepsilon_z é a deformação normal na direção z (fora do plano), que nos permite formar o triplo de componentes (\varepsilon_x,\varepsilon_y,\varepsilon_z) e então calcular as três deformações principais tridimensionais \varepsilon_1\ge\varepsilon_2\ge\varepsilon_3 (resolver a equação característica do tensor de deformação ou usar formulas/transformações apropriadas). Só com isso é possível calcular \gamma_{\text{máx,3D}}=\varepsilon_1-\varepsilon_3á.

Passo 3

Por que não posso finalizar a resolução numérica agora:
  • Você enviou apenas “+720 \mu” (provavelmente quer dizer +720\\ \mu\varepsilon), mas não ficou claro se este valor é \varepsilon_x, \varepsilon_y ou \gamma_{xy}. Além disso não foram enviados os outros dois componentes necessários. Sem os três componentes de deformação no plano (ou sem a figura/tabela completa que mostraria esses componentes), não é possível aplicar as fórmulas acima para calcular numericamente \varepsilon_{1,2}, \theta_p, \gamma_{\text{máx, plano}}á nem \gamma_{\text{máx,3D}}á.
  • Também não posso supor arbitrariamente valores ou atribuir o “+720 \mu\varepsilon” a uma componente específica — isso poderia levar a resposta errada na sua prova.

Passo 4

O que eu faria passo a passo assim que todos os dados estivessem disponíveis (resumo prático para a prova, faça assim no caderno):
  1. copie os três valores \varepsilon_x,\\ \varepsilon_y,\\ \gamma_{xy} (em unidades coerentes, ex.: \mu\varepsilon); anote \nu=1/3.
  2. calcule \bar{\varepsilon}=(\varepsilon_x+\varepsilon_y)/2.
  3. calcule R=\sqrt{\bigl(\tfrac{\varepsilon_x-\varepsilon_y}{2}\bigr)^2+\bigl(\tfrac{\gamma_{xy}}{2}\bigr)^2}.
  4. obtenha \varepsilon_1=\bar{\varepsilon}+R e \varepsilon_2=\bar{\varepsilon}-R.
  5. calcule \theta_p por \tan 2\theta_p=\dfrac{\gamma_{xy}}{\varepsilon_x-\varepsilon_y} (ver sinais para o quadrante).
  6. obtenha \gamma_{\text{máx, plano}}=\varepsilon_1-\varepsilon_2=\sqrt{(\varepsilon_x-\varepsilon_y)^2+\gamma_{xy}^2}á.
  7. calcule \varepsilon_z=-\nu(\varepsilon_x+\varepsilon_y) (condição de superfície livre de tensão).
  8. com \varepsilon_x,\varepsilon_y,\varepsilon_z (e assumindo que as componentes de cisalhamento out-of-plane são nulas na medição da superfície), determine as três deformações principais tridimensionais (resolver o problema de autovalores do tensor de deformação). Na prática de prova, muitas vezes \varepsilon_3 será o menor entre \varepsilon_x,\varepsilon_y,\varepsilon_z se as componentes off-diagonais out-of-plane forem zero; então \gamma_{\text{máx,3D}}=\varepsilon_1-\varepsilon_3á.
  9. forneça as respostas numéricas pedidas e as direções associadas.

Resposta

Não é possível calcular: faltam dados (forneceu apenas o fragmento “+720 \mu\varepsilon” sem indicar a que componente se refere e não foram fornecidos os outros dois componentes \varepsilon_x,\\ \varepsilon_y,\\ \gamma_{xy} nem a figura completa). Com os três componentes no plano eu aplicaria as fórmulas mostradas nos passos para obter (a) \varepsilon_{1,2} e \theta_p, (b) \gamma_{\text{máx, plano}}=\sqrt{(\varepsilon_x-\varepsilon_y)^2+\gamma_{xy}^2}á e (c) \gamma_{\text{máx,3D}}=\varepsilon_1-\varepsilon_3á (calculando antes \varepsilon_z=-\nu(\varepsilon_x+\varepsilon_y) com \nu=1/3).

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