8.6 Um bloco de seção transversal retangular tem peso desprezável e é sujeito à força vertical P. (a) Determine o intervalo de valores para a excentricidade e_{y} do carregamento, medida ao longo do eixo y, de maneira que nenhuma tensão de tração seja causada no bloco; (b) Especifique a região da seção transversal onde \mathbf{P} pode ser aplicada sem causar nenhuma tensão de tração no bloco.

Passo 1

Temos um bloco de seção retangular de largura b (eixo x) e altura h (eixo y), carregado por uma força P vertical com excentricidade e_{y} ao longo de y. O objetivo é encontrar para quais valores de e_{y} não há tensão de tração (isto é, \sigma(y)\ge0 em toda a seção) e também determinar a região da seção onde a resultante P pode atuar sem causar tração. Usaremos a teoria de tensões de flexão composta (compressão + momento).

Passo 2

A área da seção e o momento de inércia em torno do eixo x (que passa pelo centróide) são
A = b\,h,
I_x = \frac{b\,h^{3}}{12}.
O momento fletor devido à excentricidade é
M_x = P\,e_{y},
e a tensão normal resultante em uma fibra situada a uma distância y do centro é
\sigma(y) = \frac{P}{A} \;+\;\frac{M_x\,y}{I_x} = \frac{P}{b\,h} \;+\;\frac{P\,e_{y}\,y}{(b\,h^{3}/12)}.

Passo 3

Para não haver tração precisamos que o valor mínimo de \sigma(y) seja \ge0. As fibras de menor tensão ficam nos extremos y=\pm h/2. Supondo e_{y}\ge0, o mínimo ocorre em y=-h/2:
\sigma\bigl(-\tfrac{h}{2}\bigr) = \frac{P}{b\,h} - \frac{P\,e_{y}\,\bigl(h/2\bigr)}{(b\,h^{3}/12)} = \frac{P}{b\,h} - \frac{12\,P\,e_{y}}{b\,h^{3}}\;\frac{h}{2} = \frac{P}{b\,h} - \frac{6\,P\,e_{y}}{b\,h^{2}} \ge 0.
Cancelando P/(b\,h) (positivo) e rearranjando, obtemos
1 - \frac{6\,e_{y}}{h} \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad e_{y} \le \frac{h}{6}.
De modo análogo para e_{y}<0 chega-se a \;e_{y}\ge -\,\tfrac{h}{6}. Logo
-\frac{h}{6} \;\le\; e_{y} \;\le\;\frac{h}{6}.

Passo 4

A região da seção transversal dentro da qual a resultante P não causa tração é o núcleo central (ou “kerno”) na direção y. Isso corresponde a todos os pontos cuja coordenada y satisfaz
-\frac{h}{6} \;\le\; y \;\le\;\frac{h}{6},
isto é, uma faixa central de largura total h/3 paralela ao eixo x, estendendo-se por toda a largura b.

Resposta

Valores de excentricidade sem tração:
-\frac{h}{6} \,\le\, e_{y} \,\le\, \frac{h}{6}.
Região de aplicação sem tração: faixa central da seção dada por
-\tfrac{h}{6} \le y \le \tfrac{h}{6},
cobrindo toda a largura b.

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