2-13C Considere uma lata de refrigerante gelada deixada sobre uma mesa. Você modelaria a transferência de calor para a lata como
uni, bi ou tridimensional? A transferência de calor é permanente ou transiente? Que sistema de coordenadas você utilizaria para analisar esse problema de transferência de calor e onde definiria a origem do sistema? Justifique.
Passo 1
O enunciado pergunta três coisas sobre o problema “uma lata de refrigerante gelada deixada sobre uma mesa”:
Dimensionalidade: modelar como uni-, bi- ou tridimensional?
Regime temporal: a transferência de calor é permanente (estado estacionário) ou transiente (dependente do tempo)?
Sistema de coordenadas e posição da origem a serem usados para analisar o problema, com justificativa.
Informações implícitas que o enunciado fornece ou sugere:
Geometria física: a lata tem formato cilíndrico (superfície lateral curva e tampas superior/inferior).
Condições práticas: a lata está exposta ao ar ambiente (convecção externa) e apoiada em uma mesa (contato sólido na face inferior).
A lata inicialmente está mais fria que o ambiente (“gelada”), portanto a temperatura da lata muda com o tempo ao trocar calor com o ar/mesa.
Passo 2
O que significa uni-, bi- ou tridimensional na prática (explicação didática, sem jargões):
Modelagem unidimensional: assume-se variação de temperatura significativa apenas numa direção; as outras direções são desprezadas (temperatura uniforme nessas direções). Ex.: temperatura varia só com x, ou só com r.
Modelagem bidimensional: temperatura depende de duas direções (por exemplo r e z), mas não da terceira.
Modelagem tridimensional: temperatura varia nas três direções (x,y,z) — é o caso mais geral.
Aplicando isso à lata:
A lata é cilindro: existe uma direção radial (do eixo para a superfície), uma direção azimutal (contorno circular) e uma direção axial (altura).
Se nada quebrar a simetria azimutal (ou seja, se não houver aquecimento localizado em \theta), a variação em \theta é desprezível → podemos descartar a dependência em \theta.
Contudo, o contato com a mesa (na face inferior) quebra a simetria entre topo e fundo da lata: a base apoiada pode ter condução para a mesa e ser diferente do topo exposto ao ar. Isso gera variação axial (z).
Conclusão preliminar: a configuração mais realista exige pelo menos duas coordenadas variáveis — radial r e axial z — mas não necessariamente \theta. Ou seja, um modelo axisimétrico bidimensional (r,z) costuma ser apropriado.
Passo 3
Regime: permanente vs transiente — explicação do conceito
Permanente (estado estacionário): as temperaturas não mudam com o tempo, \displaystyle \frac{\partial T}{\partial t}=0. Isso ocorre quando o sistema atingiu equilíbrio térmico com o ambiente.
Transiente: as temperaturas variam com o tempo, \displaystyle \frac{\partial T}{\partial t}\neq 0. Ao colocar uma lata gelada em ar mais quente, a lata aquece progressivamente — isto é um processo transiente até atingir equilíbrio.
Aplicando ao problema: a lata foi colocada gelada e sua temperatura evolui no tempo até se aproximar da temperatura ambiente. Logo a transferência de calor é transiente.
Passo 4
Escolha do sistema de coordenadas — justificativa prática e simples
A geometria da lata é naturalmente cilíndrica. O sistema de coordenadas que “casa” com cilindros é o sistema cilíndrico (r,\theta,z).
Se houver simetria em torno do eixo (nenhuma fonte localizada, temperatura do ar aproximadamente uniforme ao redor), não há dependência em \theta → o problema reduz a um caso axisimétrico.
A origem mais conveniente é: o eixo do cilindro como linha de referência e o plano z=0 no plano médio (metade da altura) da lata. Assim:
r varia de 0 (eixo) até R (raio externo da lata),
z varia de -H/2 a +H/2 (altura total H), com z=-H/2 sendo a face em contato com a mesa e z=+H/2 o topo.
A razão prática: origem no eixo e centro em z=0 explora simetrias (se existirem) e simplifica condições na superfície lateral e nas tampas.
Passo 5
Escrever a equação de energia (a “fórmula que governa tudo”) em coordenadas cilíndricas e explicar cada termo
A equação de calor transiente em coordenadas cilíndricas, assumindo propriedade térmicas constantes e sem geração interna, é:
Condição inicial: a lata começa uniformemente fria (ou com perfil conhecido):
T(r,z,0)=T_{0}\quad\text{(temperatura inicial da lata)}.
Passo 7
Possíveis simplificações e critério prático (quando posso reduzir dimensão?)
Três opções comuns na prova e quando elas valem:
Modelo tridimensional completo: usar quando há grandes variações em \theta, r e z — por exemplo aquecimento local muito localizado ou superfície parcialmente coberta. É o caso mais geral, mas trabalhoso.
Modelo bidimensional axisimétrico (r,z): adequado quando não há variação azimutal. É o caso habitual para uma lata exposta uniformemente ao ar, mas com contato na base com a mesa (quebra simetria axial).
Modelo unidimensional radial (r apenas) ou axial (z apenas): só aceitável se as variações nas outras direções forem desprezíveis. Por exemplo:
unidimensional radial se a temperatura for praticamente uniforme ao longo da altura (\partial T/\partial z\approx 0) — isso exige que topo e fundo estejam sob condições parecidas (não é o caso se a lata está apoiada numa mesa).
unidimensional axial se a espessura radial dominar e se o comportamento radial for trivial — raramente o caso para lata inteira.
Modelo lumped (0D, “corpo de capacidade concentrada”): assume temperatura uniforme em todo o corpo e usa a equação:
m c \frac{dT}{dt} = -h A (T-T_\infty),
onde m é massa e A área externa. Critério para usar lumped: o número de Biot
\mathrm{Bi}=\frac{h L_c}{k}
deve ser pequeno, tipicamente \mathrm{Bi}<0{,}1. Aqui L_c é o comprimento característico do corpo (por exemplo L_c=V/A, volume sobre área externa, ou metade da espessura para camadas finas), e k a condutividade interna relevante.
Passo 8
Exemplo numérico rápido (valores típicos) para justificar a escolha (apenas para intuição — números aproximados)
Valores típicos:
volume de uma lata V\approx 3{,}55\times10^{-4}\\ \mathrm{m^3} (355 mL),
área externa A\approx 3{,}0\times10^{-2}\\ \mathrm{m^2},
então L_c=V/A\approx 1{,}2\times10^{-2}\\ \mathrm{m}.
para ar natural, h\approx 5 a 20\\ \mathrm{W/(m^2K)}. Para um cálculo rápido use h=10\\ \mathrm{W/(m^2K)}.
água (ou refrigerante) tem k\approx 0{,}6\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
Biot para o líquido usando esses números (ordem de grandeza):
Esse valor é maior que 0{,}1, indicando que não é totalmente seguro assumir temperatura uniforme dentro do líquido sem considerar convecção interna. Contudo, o líquido pode ter convecção interna (movimento do fluido) que mistura e reduz gradientes internos efetivamente — então, em muitas aplicações práticas a hipótese de mistura interna é usada e o conjunto lata+líquido pode ser aproximado por um único corpo com um Bi efetivamente menor.
Biot para a parede de alumínio (camada fina): espessura típica da parede t\approx 2\times10^{-4}\\ \mathrm{m}, usando L_c\approx t/2\approx 1\times10^{-4}\\ \mathrm{m} e k_{\text{Al}}\approx 205\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}:
o que justifica assumir a parede metálica praticamente isoterma através da espessura.
Interpretação: a parede é praticamente sem gradiente através da espessura; o líquido pode apresentar gradientes, mas convecção interna pode homogenizar. A presença da mesa cria uma condição distinta no fundo que gera gradientes axiais.
Passo 9
Recomendação final para modelagem em prova (simples, robusta e defensável)
Modelo recomendado: transiente e axisimétrico bidimensional em coordenadas cilíndricas (r,z), com origem no eixo no plano médio da lata (ou seja, eixo r=0 e z=0 no meio da altura). Justificativas resumo:
Transiente porque a lata aquece com o tempo até atingir a temperatura ambiente.
Bidimensional axisimétrico porque a geometria é cilíndrica e a dependência azimutal \theta pode ser desprezada, mas o contato com a mesa quebra a simetria axial (topo vs. fundo), exigindo variação em z.
Coordenadas cilíndricas porque simplificam a expressão do laplaciano e as BCs na superfície lateral curva.
Observação prática para provas: diga que a simplificação para 1D ou lumped só é aceitável se justificar via Biot (por exemplo \mathrm{Bi}<0{,}1 para o corpo relevante) ou se a mesa e topo forem semelhantes (não o caso típico). Se a prova pede solução rápida e você argumentar que a convecção interna mistura bem o líquido e que a lata+líquido podem ser aproximados por um corpo único com \mathrm{Bi}_{\text{efetivo}}<0{,}1, então o modelo lumped transiente é defensável — mas sempre descreva e calcule o \mathrm{Bi} para justificar.
Passo 10
Dicas práticas de resposta na prova (como escrever concisamente e bem)
Declare logo: “transiente” e “axisimétrico em (r,z) (2D) com origem no eixo e z=0 no plano médio” e em seguida apresente a equação de calor simplificada e as condições de contorno (convecção lateral, contacto na base).
Se quiser simplificar, apresente o cálculo do \mathrm{Bi} e conclua se o modelo lumped é válido; caso não seja, explique por que o modelo 2D é necessário.
Resposta
Bidimensional axisimétrico (2D: r,z).
Transiente.
Sistema de coordenadas: cilíndricas (r,\theta,z) com independência em \theta (axisimétrico); origem no eixo do cilindro e z=0 no plano médio da lata (topo em z=+H/2, fundo em z=-H/2).