2-13C Considere uma lata de refrigerante gelada deixada sobre uma mesa. Você modelaria a transferência de calor para a lata como
uni, bi ou tridimensional? A transferência de calor é permanente ou transiente? Que sistema de coordenadas você utilizaria para analisar esse problema de transferência de calor e onde definiria a origem do sistema? Justifique.

Passo 1

O enunciado pergunta três coisas sobre o problema “uma lata de refrigerante gelada deixada sobre uma mesa”:
  • Dimensionalidade: modelar como uni-, bi- ou tridimensional?
  • Regime temporal: a transferência de calor é permanente (estado estacionário) ou transiente (dependente do tempo)?
  • Sistema de coordenadas e posição da origem a serem usados para analisar o problema, com justificativa.
Informações implícitas que o enunciado fornece ou sugere:
  • Geometria física: a lata tem formato cilíndrico (superfície lateral curva e tampas superior/inferior).
  • Condições práticas: a lata está exposta ao ar ambiente (convecção externa) e apoiada em uma mesa (contato sólido na face inferior).
  • A lata inicialmente está mais fria que o ambiente (“gelada”), portanto a temperatura da lata muda com o tempo ao trocar calor com o ar/mesa.

Passo 2

O que significa uni-, bi- ou tridimensional na prática (explicação didática, sem jargões):
  • Modelagem unidimensional: assume-se variação de temperatura significativa apenas numa direção; as outras direções são desprezadas (temperatura uniforme nessas direções). Ex.: temperatura varia só com x, ou só com r.
  • Modelagem bidimensional: temperatura depende de duas direções (por exemplo r e z), mas não da terceira.
  • Modelagem tridimensional: temperatura varia nas três direções (x,y,z) — é o caso mais geral.
Aplicando isso à lata:
  • A lata é cilindro: existe uma direção radial (do eixo para a superfície), uma direção azimutal (contorno circular) e uma direção axial (altura).
  • Se nada quebrar a simetria azimutal (ou seja, se não houver aquecimento localizado em \theta), a variação em \theta é desprezível → podemos descartar a dependência em \theta.
  • Contudo, o contato com a mesa (na face inferior) quebra a simetria entre topo e fundo da lata: a base apoiada pode ter condução para a mesa e ser diferente do topo exposto ao ar. Isso gera variação axial ( z).
    Conclusão preliminar: a configuração mais realista exige pelo menos duas coordenadas variáveis — radial r e axial z — mas não necessariamente \theta. Ou seja, um modelo axisimétrico bidimensional ( r,z) costuma ser apropriado.

Passo 3

Regime: permanente vs transiente — explicação do conceito
  • Permanente (estado estacionário): as temperaturas não mudam com o tempo, \displaystyle \frac{\partial T}{\partial t}=0. Isso ocorre quando o sistema atingiu equilíbrio térmico com o ambiente.
  • Transiente: as temperaturas variam com o tempo, \displaystyle \frac{\partial T}{\partial t}\neq 0. Ao colocar uma lata gelada em ar mais quente, a lata aquece progressivamente — isto é um processo transiente até atingir equilíbrio.
Aplicando ao problema: a lata foi colocada gelada e sua temperatura evolui no tempo até se aproximar da temperatura ambiente. Logo a transferência de calor é transiente.

Passo 4

Escolha do sistema de coordenadas — justificativa prática e simples
  • A geometria da lata é naturalmente cilíndrica. O sistema de coordenadas que “casa” com cilindros é o sistema cilíndrico (r, \theta,z).
  • Se houver simetria em torno do eixo (nenhuma fonte localizada, temperatura do ar aproximadamente uniforme ao redor), não há dependência em \theta → o problema reduz a um caso axisimétrico.
  • A origem mais conveniente é: o eixo do cilindro como linha de referência e o plano z=0 no plano médio (metade da altura) da lata. Assim:
    • r varia de 0 (eixo) até R (raio externo da lata),
    • z varia de -H/2 a +H/2 (altura total H), com z=-H/2 sendo a face em contato com a mesa e z=+H/2 o topo.
      A razão prática: origem no eixo e centro em z=0 explora simetrias (se existirem) e simplifica condições na superfície lateral e nas tampas.

Passo 5

Escrever a equação de energia (a “fórmula que governa tudo”) em coordenadas cilíndricas e explicar cada termo
  • A equação de calor transiente em coordenadas cilíndricas, assumindo propriedade térmicas constantes e sem geração interna, é:
\rho c \frac{\partial T}{\partial t} = k\left(\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\!\bigg(r\frac{\partial T}{\partial r}\bigg) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 T}{\partial \theta^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial z^2}\right),
onde:
  • \rho é a densidade do material (kg/m^3),
  • c é o calor específico (J/(kg·K)),
  • k é a condutividade térmica (W/(m·K)),
  • T(r,\theta,z,t) é a temperatura,
  • t é o tempo.
  • Em um caso axisimétrico sem dependência azimutal ( \partial/\partial\theta=0), a equação simplifica para:
\rho c \frac{\partial T}{\partial t} = k\left(\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\!\bigg(r\frac{\partial T}{\partial r}\bigg) + \frac{\partial^2 T}{\partial z^2}\right).
Comentário didático: o primeiro operador no parêntese representa a curvatura radial; o segundo termo representa variação axial.

Passo 6

Condições de contorno típicas para a lata (como formular na prova)
  • Superfície externa lateral e tampas expostas ao ar: condição de convecção (Lei de Newton do resfriamento):
-k\left.\frac{\partial T}{\partial n}\right|_{\text{superfície}} = h\bigl(T_{\text{superfície}}-T_\infty\bigr),íí
onde:
  • \partial/\partial n é a derivada normal à superfície (em r ou z),
  • h é o coeficiente de transferência convectiva externa (W/(m^2·K)),
  • T_\infty é a temperatura do ar ambiente.
  • Na região de contato com a mesa (parte da face inferior): pode-se usar
    • condição de contato térmico com condução para a mesa (acoplamento sólido-sólido), ou
    • uma condição convectiva com coeficiente efetivo maior, ou
    • condição de temperatura prescrita se a mesa for um “reservatório térmico” amplo (Dirichlet).
  • No eixo (r=0): condição de regularidade (simetria):
\left.\frac{\partial T}{\partial r}\right|_{r=0}=0.
  • Condição inicial: a lata começa uniformemente fria (ou com perfil conhecido):
T(r,z,0)=T_{0}\quad\text{(temperatura inicial da lata)}.

Passo 7

Possíveis simplificações e critério prático (quando posso reduzir dimensão?)
  • Três opções comuns na prova e quando elas valem:
    1. Modelo tridimensional completo: usar quando há grandes variações em \theta, r e z — por exemplo aquecimento local muito localizado ou superfície parcialmente coberta. É o caso mais geral, mas trabalhoso.
    2. Modelo bidimensional axisimétrico ( r,z): adequado quando não há variação azimutal. É o caso habitual para uma lata exposta uniformemente ao ar, mas com contato na base com a mesa (quebra simetria axial).
    3. Modelo unidimensional radial ( r apenas) ou axial ( z apenas): só aceitável se as variações nas outras direções forem desprezíveis. Por exemplo:
      • unidimensional radial se a temperatura for praticamente uniforme ao longo da altura ( \partial T/\partial z\approx 0) — isso exige que topo e fundo estejam sob condições parecidas (não é o caso se a lata está apoiada numa mesa).
      • unidimensional axial se a espessura radial dominar e se o comportamento radial for trivial — raramente o caso para lata inteira.
    4. Modelo lumped (0D, “corpo de capacidade concentrada”): assume temperatura uniforme em todo o corpo e usa a equação:
m c \frac{dT}{dt} = -h A (T-T_\infty),
onde m é massa e A área externa. Critério para usar lumped: o número de Biot
\mathrm{Bi}=\frac{h L_c}{k}
deve ser pequeno, tipicamente \mathrm{Bi}<0{,}1. Aqui L_c é o comprimento característico do corpo (por exemplo L_c=V/A, volume sobre área externa, ou metade da espessura para camadas finas), e k a condutividade interna relevante.

Passo 8

Exemplo numérico rápido (valores típicos) para justificar a escolha (apenas para intuição — números aproximados)
  • Valores típicos:
    • volume de uma lata V\approx 3{,}55\times10^{-4}\\ \mathrm{m^3} (355 mL),
    • área externa A\approx 3{,}0\times10^{-2}\\ \mathrm{m^2},
    • então L_c=V/A\approx 1{,}2\times10^{-2}\\ \mathrm{m}.
    • para ar natural, h\approx 5 a 20\\ \mathrm{W/(m^2K)}. Para um cálculo rápido use h=10\\ \mathrm{W/(m^2K)}.
    • água (ou refrigerante) tem k\approx 0{,}6\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • Biot para o líquido usando esses números (ordem de grandeza):
\mathrm{Bi}\approx \frac{h L_c}{k}\approx \frac{10\cdot 1{,}2\times10^{-2}}{0{,}6}\approx 0{,}20.
Esse valor é maior que 0{,}1, indicando que não é totalmente seguro assumir temperatura uniforme dentro do líquido sem considerar convecção interna. Contudo, o líquido pode ter convecção interna (movimento do fluido) que mistura e reduz gradientes internos efetivamente — então, em muitas aplicações práticas a hipótese de mistura interna é usada e o conjunto lata+líquido pode ser aproximado por um único corpo com um Bi efetivamente menor.
  • Biot para a parede de alumínio (camada fina): espessura típica da parede t\approx 2\times10^{-4}\\ \mathrm{m}, usando L_c\approx t/2\approx 1\times10^{-4}\\ \mathrm{m} e k_{\text{Al}}\approx 205\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}:
\mathrm{Bi}_{\text{parede}}\approx\frac{10\cdot 1\times10^{-4}}{205}\approx 5\times10^{-6}\ll 0{,}1,
o que justifica assumir a parede metálica praticamente isoterma através da espessura.
  • Interpretação: a parede é praticamente sem gradiente através da espessura; o líquido pode apresentar gradientes, mas convecção interna pode homogenizar. A presença da mesa cria uma condição distinta no fundo que gera gradientes axiais.

Passo 9

Recomendação final para modelagem em prova (simples, robusta e defensável)
  • Modelo recomendado: transiente e axisimétrico bidimensional em coordenadas cilíndricas (r,z), com origem no eixo no plano médio da lata (ou seja, eixo r=0 e z=0 no meio da altura). Justificativas resumo:
    • Transiente porque a lata aquece com o tempo até atingir a temperatura ambiente.
    • Bidimensional axisimétrico porque a geometria é cilíndrica e a dependência azimutal \theta pode ser desprezada, mas o contato com a mesa quebra a simetria axial (topo vs. fundo), exigindo variação em z.
    • Coordenadas cilíndricas porque simplificam a expressão do laplaciano e as BCs na superfície lateral curva.
  • Observação prática para provas: diga que a simplificação para 1D ou lumped só é aceitável se justificar via Biot (por exemplo \mathrm{Bi}<0{,}1 para o corpo relevante) ou se a mesa e topo forem semelhantes (não o caso típico). Se a prova pede solução rápida e você argumentar que a convecção interna mistura bem o líquido e que a lata+líquido podem ser aproximados por um corpo único com \mathrm{Bi}_{\text{efetivo}}<0{,}1, então o modelo lumped transiente é defensável — mas sempre descreva e calcule o \mathrm{Bi} para justificar.

Passo 10

Dicas práticas de resposta na prova (como escrever concisamente e bem)
  • Declare logo: “transiente” e “axisimétrico em (r,z) (2D) com origem no eixo e z=0 no plano médio” e em seguida apresente a equação de calor simplificada e as condições de contorno (convecção lateral, contacto na base).
  • Se quiser simplificar, apresente o cálculo do \mathrm{Bi} e conclua se o modelo lumped é válido; caso não seja, explique por que o modelo 2D é necessário.

Resposta

Bidimensional axisimétrico (2D: r,z).
Transiente.
Sistema de coordenadas: cilíndricas (r,\theta,z) com independência em \theta (axisimétrico); origem no eixo do cilindro e z=0 no plano médio da lata (topo em z=+H/2, fundo em z=-H/2).

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