3.3 Considere uma parede de forno com isolamento térmico de espessura L=30 \mathrm{~mm} e condutividade térmica k=0,03 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K}. O ar no interior do forno está a T_{\infty, i}=180^{\circ} \mathrm{C}, enquanto o ar externo está a T_{\infty, o}=23^{\circ} \mathrm{C}. O coeficiente convectivo externo é h_{o}=2 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K}. No interior, o coeficiente convectivo é h_{i}=3 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K} para convecção natural e h_{i}=27 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K} para convecção forçada. Admitindo regime permanente, condução unidimensional, propriedades constantes e desprezando inicialmente os efeitos de radiação, determine o fluxo de calor através da parede para os dois regimes de convecção interna. Em seguida, estime o efeito da radiação considerando emissividade unitária e temperaturas de superfície aproximadas pela média entre as temperaturas interna e externa.

Passo 1

O que o problema pede e os dados fornecidos.
  • Pedidos:
    1. Determinar o fluxo de calor por unidade de área através da parede em regime permanente para os dois regimes de convecção interna (natural e forçada), desprezando inicialmente radiação.
    2. Estimar o efeito da radiação assumindo emissividade unitária e temperaturas de superfície aproximadas pela média entre as temperaturas interna e externa.
  • Dados (peguei todos do enunciado):
    • Espessura da parede: L=30\\ \mathrm{mm}=0{,}03\\ \mathrm{m}.
    • Condutividade térmica: k=0{,}03\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
    • Temperatura do ar interno: T_{\infty,i}=180^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura do ar externo: T_{\infty,o}=23^\circ\mathrm{C}.
    • Coeficiente convectivo externo: h_{o}=2\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
    • Coeficiente convectivo interno (convecção natural): h_{i}=3\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
    • Coeficiente convectivo interno (convecção forçada): h_{i}=27\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
    • Para a estimativa da radiação: emissividade \varepsilon=1 (unitária) e temperaturas de superfície aproximadas pela média entre T_{\infty,i} e T_{\infty,o}.

Passo 2

Modelo térmico e fórmula básica (rede de resistências térmicas).
  • Em regime permanente e condução unidimensional, o fluxo de calor por unidade de área \dot q'' atravessando a parede é análogo a uma diferença de potencial dividida pela soma das resistências térmicas série:
\dot q''=\frac{T_{\infty,i}-T_{\infty,o}}{R_{\text{conv},i}+R_{\text{cond}}+R_{\text{conv},o}}.
  • Definições e fórmulas das resistências:
    • Resistência de convecção interior: R_{\text{conv},i}=\dfrac{1}{h_i}.
    • Resistência de condução da camada: R_{\text{cond}}=\dfrac{L}{k}.
    • Resistência de convecção exterior: R_{\text{conv},o}=\dfrac{1}{h_o}.
  • Explicando cada termo, de forma bem prática:
    • h_i e h_o (unidades \mathrm{W/(m^2\cdot K)}) representam a facilidade da transferência por convecção nos dois lados; 1/h é a resistência associada.
    • L/k (unidades \mathrm{m^2\cdot K/W}) é a resistência da própria parede à condução térmica.

Passo 3

Cálculo numérico sem radiação — primeiro obtenha as resistências numéricas.
  • Calcule R_{\text{cond}}:
R_{\text{cond}}=\frac{L}{k}=\frac{0{,}03}{0{,}03}=1\\ \mathrm{m^2\cdot K/W}.
  • Calcule R_{\text{conv},o}:
R_{\text{conv},o}=\frac{1}{h_o}=\frac{1}{2}=0{,}5\\ \mathrm{m^2\cdot K/W}.
  • Calcule R_{\text{conv},i} para os dois casos:
    • Convecção natural ( h_i=3):
    R_{\text{conv},i}=\frac{1}{3}=0{,}333\overline{3}\\ \mathrm{m^2\cdot K/W}.
    • Convecção forçada ( h_i=27):
    R_{\text{conv},i}=\frac{1}{27}\approx0{,}037037\\ \mathrm{m^2\cdot K/W}.

Passo 4

Fluxo de calor sem radiação — calcule \dot q'' para os dois regimes.
  • Diferença de temperatura:
\Delta T=T_{\infty,i}-T_{\infty,o}=180-23=157\\ \mathrm{K}.
  • Caso 1 — convecção natural ( h_i=3):
R_{\text{tot}}=0{,}333\overline{3}+1+0{,}5=1{,}833\overline{3}\\ \mathrm{m^2\cdot K/W},
\dot q''=\frac{157}{1{,}833\overline{3}}=\frac{157}{11/6}=157\cdot\frac{6}{11}=85{,}636363\ldots\\ \mathrm{W/m^2}.
  • Caso 2 — convecção forçada ( h_i=27):
R_{\text{tot}}=0{,}037037+1+0{,}5=1{,}537037\\ \mathrm{m^2\cdot K/W},
\dot q''=\frac{157}{1{,}537037}=157\cdot\frac{54}{83}\approx102{,}1687\\ \mathrm{W/m^2}.
(Arredondarei os resultados finais na seção de resposta.)

Passo 5

Como estimar o efeito da radiação — estratégia e aproximações usadas.
  • Para incluir radiação usamos a abordagem padrão de linearizar a troca radiativa num coeficiente de transferência efetivo h_r e somá‑lo ao coeficiente convectivo externo h_o (porque convecção e radiação atuam em paralelo na superfície externa):
h_{\text{ext,eq}}=h_o+h_r.
  • Usaremos emissividade \varepsilon=1 (dado) e aproximaremos a temperatura da superfície externa por
T_s\approx\frac{T_{\infty,i}+T_{\infty,o}}{2}.
  • Para a radiação precisamos trabalhar em Kelvin; convertendo:
T_{\infty,i}=180^\circ\mathrm{C}=453{,}15\\ \mathrm{K},\qquad T_{\infty,o}=23^\circ\mathrm{C}=296{,}15\\ \mathrm{K}.
T_s\approx\frac{453{,}15+296{,}15}{2}=374{,}65\\ \mathrm{K}.

Passo 6

Cálculo do coeficiente radiativo aproximado h_r.
  • Uma forma prática e precisa de linearizar a radiação é usar
h_r\approx 4\sigma T_m^3,
onde \sigma=5{,}670374419\times10^{-8}\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K^4)} (constante de Stefan–Boltzmann) e T_m é uma temperatura média entre a superfície e o ambiente radiante; aqui tomo
T_m\approx\frac{T_s+T_{\infty,o}}{2}=\frac{374{,}65+296{,}15}{2}=335{,}40\\ \mathrm{K}.
  • Calcule T_m^3 e h_r:
T_m^3\approx335{,}40^3\approx3{,}7730\times10^{7}\\ \mathrm{K^3},
h_r\approx 4\cdot(5{,}670374419\times10^{-8})\cdot3{,}7730\times10^{7}\approx8{,}56\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
  • Observação didática rápida: este h_r é uma linearização do termo \sigma(T_s^4-T_{\infty,o}^4); com pequenas diferenças de temperatura a linearização por 4\sigma T_m^3 é muito prática e suficientemente precisa para estimativas.

Passo 7

Recalcule o fluxo com o efeito da radiação incluído (somando h_r a h_o).
  • Coeficiente externo efectivo:
h_{\text{ext,eq}}=h_o+h_r=2+8{,}56=10{,}56\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
R_{\text{conv},o,\text{eq}}=\frac{1}{h_{\text{ext,eq}}}=\frac{1}{10{,}56}\approx0{,}0947\\ \mathrm{m^2\cdot K/W}.
  • Recalcule R_{\text{tot}} e \dot q'' para cada caso:
    • Convecção natural ( h_i=3):
    R_{\text{tot}}=0{,}333\overline{3}+1+0{,}0947\approx1{,}42805\\ \mathrm{m^2\cdot K/W},
\dot q''=\frac{157}{1{,}42805}\approx109{,}96\\ \mathrm{W/m^2}.
  • Convecção forçada ( h_i=27):
R_{\text{tot}}=0{,}037037+1+0{,}0947\approx1{,}13174\\ \mathrm{m^2\cdot K/W},
\dot q''=\frac{157}{1{,}13174}\approx138{,}78\\ \mathrm{W/m^2}.
  • Interpretação curta: a radiação externa (com \varepsilon=1 e superfícies quentes) aumenta bastante o fluxo de calor; por isso a resistência externa efetiva diminui e o fluxo aumenta.

Resposta

Convecção natural ( h_i=3), sem radiação: \dot q''=85{,}64\\ \mathrm{W/m^2}
Convecção forçada ( h_i=27), sem radiação: \dot q''=102{,}17\\ \mathrm{W/m^2}
Convecção natural ( h_i=3), com radiação ( \varepsilon=1, T_s\approx média): \dot q''\approx109{,}96\\ \mathrm{W/m^2}
Convecção forçada ( h_i=27), com radiação ( \varepsilon=1, T_s\approx média): \dot q''\approx138{,}78\\ \mathrm{W/m^2}

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