2-19C Escreva a equação de condução de calor unidimensional transiente para um cilindro extenso com condutividade térmica constante e geração de calor e indique o que cada variável representa.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas bem claras:
- Escrever a equação de condução de calor unidimensional transiente para um cilindro extenso com condutividade térmica constante e geração de calor.
- Indicar o que cada variável nessa equação representa.
Informações dadas e hipóteses que vou usar (essas são as condições do problema que influenciam a forma da equação):
- Geometria: cilindro extenso (comprimento muito maior que o raio), portanto despreza-se variação axial e circumferencial — só há variação radial. A variável espacial será
. - Regime transiente: a temperatura depende do tempo
. - Condutividade térmica
é constante (não varia com nem com ). - Há geração volumétrica de calor uniforme representada por uma taxa volumétrica
(unidade: potência por volume). - A temperatura é função
.
Passo 2
Vamos montar a equação a partir da conservação de energia para um elemento diferencial do cilindro (controle do tipo anel): considere um anel cilíndrico entre
e
, de comprimento
(no final cancelamos
porque a equação vale por unidade de comprimento). Área de superfície para fluxo radial em
é
A massa do anel é
onde
é a densidade do material.
Passo 3
Escrevo a equação de balanço de energia (acumulação = entrada líquida por condução + geração volumétrica):
A acumulação de energia na fatia é a massa vezes o calor específico e a variação temporal da temperatura:
onde
é o calor específico (por unidade de massa).
Passo 4
Para o fluxo de calor por condução usamos a lei de Fourier (fluxo radial): a vazão de calor atravessando a superfície em
é
e em
é
. O termo “entrada líquida por condução” no volume é
.
Passo 5
A geração volumétrica total dentro do anel é
onde
é a taxa de geração de calor por unidade de volume (W/m
).
Passo 6
Agora aplico o balanço:
Aproximo
, então
. Substituo
em termos de
:
Passo 7
Simplificando (cancelando o fator comum
) obtenho
Dividindo ambos os lados por
dá a forma padrão
Passo 8
Como foi dada a hipótese
constante, podemos tirar
para fora da derivada:
Dividindo por
podemos introduzir a difusividade térmica
e escrever uma forma muito usada:
Passo 9
Resumo didático das fórmulas utilizadas:
- Lei de Fourier (fluxo radial):
. - Balanço de energia para o elemento anular levou à equação diferencial em coordenadas cilíndricas mostrada acima.
- A expressão
é o operador laplaciano radial em coordenadas cilíndricas para campos axissimétricos (sem dependência em e ).
Passo 10
Observações úteis para a prova (curtas, motivadoras):
- Essa é a equação que você deve lembrar quando o problema disser “cilindro longo” + “transiente” + “geração volumétrica”.
- Em
a solução deve ser regular (a derivada radial deve ser finita e normalmente por simetria). - Para resolver numericamente ou por séries, normalmente precisa-se de condições iniciais
e condições de contorno na superfície (convecção, temperatura prescrita, fluxo prescrito, etc.). Você aguenta, vamos com calma na aplicação.