2-19C Escreva a equação de condução de calor unidimensional transiente para um cilindro extenso com condutividade térmica constante e geração de calor e indique o que cada variável representa.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas bem claras:
  • Escrever a equação de condução de calor unidimensional transiente para um cilindro extenso com condutividade térmica constante e geração de calor.
  • Indicar o que cada variável nessa equação representa.
Informações dadas e hipóteses que vou usar (essas são as condições do problema que influenciam a forma da equação):
  • Geometria: cilindro extenso (comprimento muito maior que o raio), portanto despreza-se variação axial e circumferencial — só há variação radial. A variável espacial será r.
  • Regime transiente: a temperatura depende do tempo t.
  • Condutividade térmica k é constante (não varia com T nem com r).
  • Há geração volumétrica de calor uniforme representada por uma taxa volumétrica \dot{q}''' (unidade: potência por volume).
  • A temperatura é função \,T(r,t)\,.

Passo 2

Vamos montar a equação a partir da conservação de energia para um elemento diferencial do cilindro (controle do tipo anel): considere um anel cilíndrico entre r e r+dr, de comprimento L (no final cancelamos L porque a equação vale por unidade de comprimento). Área de superfície para fluxo radial em r é
A_r = 2\pi r L.
A massa do anel é
m = \rho\, (2\pi r L\,dr),
onde \rho é a densidade do material.

Passo 3

Escrevo a equação de balanço de energia (acumulação = entrada líquida por condução + geração volumétrica):
\text{(acumulação de energia)} = \text{(fluxo condutor entrando)} - \text{(fluxo condutor saindo)} + \text{(geração)}.çãçã
A acumulação de energia na fatia é a massa vezes o calor específico e a variação temporal da temperatura:
\text{acumulação} = \rho c_p (2\pi r L\,dr)\,\frac{\partial T}{\partial t},çã
onde c_p é o calor específico (por unidade de massa).

Passo 4

Para o fluxo de calor por condução usamos a lei de Fourier (fluxo radial): a vazão de calor atravessando a superfície em r é
\dot{Q}_r = -k\,A_r\,\frac{\partial T}{\partial r} = -k(2\pi r L)\,\frac{\partial T}{\partial r},
e em r+dr é \dot{Q}_{r+dr}. O termo “entrada líquida por condução” no volume é \dot{Q}_r-\dot{Q}_{r+dr}.

Passo 5

A geração volumétrica total dentro do anel é
\text{geração} = \dot{q}''' \,(2\pi r L\,dr),çã
onde \dot{q}''' é a taxa de geração de calor por unidade de volume (W/m ^3).

Passo 6

Agora aplico o balanço:
\rho c_p (2\pi r L\,dr)\,\frac{\partial T}{\partial t} = \dot{Q}_r - \dot{Q}_{r+dr} + \dot{q}''' (2\pi r L\,dr).
Aproximo \dot{Q}_{r+dr} \approx \dot{Q}_r + \dfrac{d\dot{Q}_r}{dr}\,dr, então \dot{Q}_r-\dot{Q}_{r+dr} \approx -\dfrac{d\dot{Q}_r}{dr}\,dr. Substituo \dot{Q}_r em termos de T:
\rho c_p (2\pi r L\,dr)\,\frac{\partial T}{\partial t} = -\frac{d}{dr}\big[ -k(2\pi r L)\frac{\partial T}{\partial r}\big]\,dr + \dot{q}''' (2\pi r L\,dr).

Passo 7

Simplificando (cancelando o fator comum 2\pi L\,dr) obtenho
\rho c_p\,r\,\frac{\partial T}{\partial t} = \frac{d}{dr}\Big(k\,r\,\frac{\partial T}{\partial r}\Big) + r\,\dot{q}'''.
Dividindo ambos os lados por r dá a forma padrão
\rho c_p\,\frac{\partial T}{\partial t} = \frac{1}{r}\frac{d}{dr}\Big(k\,r\,\frac{dT}{dr}\Big) + \dot{q}'''.

Passo 8

Como foi dada a hipótese k constante, podemos tirar k para fora da derivada:
\rho c_p\,\frac{\partial T}{\partial t} = k\left(\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\Big(r\,\frac{dT}{dr}\Big)\right) + \dot{q}'''.
Dividindo por \rho c_p podemos introduzir a difusividade térmica \alpha = \dfrac{k}{\rho c_p} e escrever uma forma muito usada:
\frac{\partial T}{\partial t} = \alpha\left(\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\Big(r\,\frac{dT}{dr}\Big)\right) + \frac{\dot{q}'''}{\rho c_p}.

Passo 9

Resumo didático das fórmulas utilizadas:
  • Lei de Fourier (fluxo radial): \dot{Q}_r = -k(2\pi r L)\dfrac{\partial T}{\partial r}.
  • Balanço de energia para o elemento anular levou à equação diferencial em coordenadas cilíndricas mostrada acima.
  • A expressão \dfrac{1}{r}\dfrac{d}{dr}\big(r\,\dfrac{dT}{dr}\big) é o operador laplaciano radial em coordenadas cilíndricas para campos axissimétricos (sem dependência em \theta e z).

Passo 10

Observações úteis para a prova (curtas, motivadoras):
  • Essa é a equação que você deve lembrar quando o problema disser “cilindro longo” + “transiente” + “geração volumétrica”.
  • Em r=0 a solução deve ser regular (a derivada radial deve ser finita e normalmente \dfrac{dT}{dr}\big|_{r=0}=0 por simetria).
  • Para resolver numericamente ou por séries, normalmente precisa-se de condições iniciais T(r,0) e condições de contorno na superfície r=R (convecção, temperatura prescrita, fluxo prescrito, etc.). Você aguenta, vamos com calma na aplicação.

Resposta

\displaystyle \rho c_p\,\frac{\partial T}{\partial t}=k\left(\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\Big(r\,\frac{dT}{dr}\Big)\right)+\dot{q}'''
\displaystyle \text{o que significa:}
\displaystyle T=T(r,t) — temperatura no raio r e tempo t.
\displaystyle r — coordenada radial (m).
\displaystyle t — tempo (s).
\displaystyle \rho — densidade do material (kg·m^{-3}).
\displaystyle c_p — calor específico (J·kg{-1}·K{-1}).
\displaystyle k — condutividade térmica (W·m{-1}·K{-1}), constante.
\displaystyle \dot{q}''' — geração volumétrica de calor (W·m^{-3}).
\displaystyle \alpha=\dfrac{k}{\rho c_p} — difusividade térmica (m{2}·s{-1}), caso queira a forma normalizada:
\displaystyle \frac{\partial T}{\partial t}=\alpha\left(\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\Big(r\,\frac{dT}{dr}\Big)\right)+\frac{\dot{q}'''}{\rho c_p}.

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