Considere um meio cuja equação de condução de calor na forma mais simples é
\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}\left(k r \frac{\partial T}{\partial r}\right)+\frac{\partial}{\partial z}\left(k \frac{\partial T}{\partial z}\right)+\dot{e}_{\mathrm{ger}}=0
(c) Há geração de calor no meio?

Passo 1

O enunciado dá a equação
\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(k r \frac{\partial T}{\partial r}\right)+\frac{\partial}{\partial z}\!\left(k\frac{\partial T}{\partial z}\right)+\dot{e}_{\mathrm{ger}}=0
e pergunta: há geração de calor no meio?
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • A equação é a forma de balanço de calor em coordenadas cilíndricas (eixo r,z).
  • Aparece o termo \dot{e}_{\mathrm{ger}}, escrito explicitamente na equação.
  • Não há outros números nem condições de contorno fornecidos.

Passo 2

Vamos entender o que representa cada termo para saber se existe geração. Física/resumo simples:
  • Em condução de calor, a conservação de energia local diz que a divergência do fluxo de calor mais a taxa de geração volumétrica de calor deve ser zero em regime estacionário. Em forma simbólica:
\nabla\!\cdot\!(\mathbf{q})+\dot{e}_{\mathrm{ger}}=0,
onde \mathbf{q} é o vetor fluxo de calor (unidade: \mathrm{W/m^2}) e \dot{e}_{\mathrm{ger}} é a geração volumétrica de calor (unidade: \mathrm{W/m^3}).
  • Pela lei de Fourier, o fluxo de calor é \mathbf{q}=-k\nabla T, onde k é a condutividade térmica e T é a temperatura. Substituindo na conservação obtemos
\nabla\!\cdot\!( -k\nabla T)+\dot{e}_{\mathrm{ger}}=0 \quad\Longrightarrow\quad \nabla\!\cdot\!(k\nabla T)+\dot{e}_{\mathrm{ger}}=0,
o que é exatamente a forma geral que a equação do enunciado representa quando escrita em coordenadas cilíndricas.

Passo 3

Agora vejamos o termo \dot{e}_{\mathrm{ger}}. Ele está somando à divergência do fluxo de calor na equação. Interpretação:
  • Se \dot{e}_{\mathrm{ger}}>0 em alguma região, isso significa que há geração interna de calor (fonte) naquela região — calor sendo produzido por unidade de volume.
  • Se \dot{e}_{\mathrm{ger}}=0, não há geração interna (equação reduz à forma homogênea \nabla\!\cdot\!(k\nabla T)=0, a chamada equação de Laplace quando k é constante).
  • Se \dot{e}_{\mathrm{ger}}<0, haveria um termo que representa absorção interna (um “sumidouro” de calor).

Passo 4

Como identificar rapidamente em uma prova: procure por termos que não envolvem derivadas de T (ou que aparecem isolados) — esses são termos de fonte/sumidouro. Aqui o termo explícito \dot{e}_{\mathrm{ger}} é justamente o termo de geração volumétrica. Portanto, a presença desse símbolo na equação indica que o modelo admite geração interna; se o problema não disser que \dot{e}_{\mathrm{ger}}=0, deve-se assumir que pode haver geração.

Passo 5

Resposta prática e direta para a pergunta: a equação contém um termo de geração. Se \dot{e}_{\mathrm{ger}}\neq0 então há geração de calor no meio; se o enunciado especificar \dot{e}_{\mathrm{ger}}=0 então não há geração. Também vale lembrar o significado do sinal: positivo = fonte, negativo = sumidouro.

Resposta

Sim — o termo \dot{e}_{\mathrm{ger}} na equação representa geração volumétrica de calor; portanto há geração se \dot{e}_{\mathrm{ger}}\neq0 (se \dot{e}_{\mathrm{ger}}=0, não há geração).

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