13P (Desafio) - Uma carga q está uniformemente distribuída através de um volume esférico de raio R.
(a) Fazendo
no infinito, mostre que o potencial a uma distância r do centro, onde
, é dado por
(a) Fazendo
Passo 1
O enunciado diz que temos uma carga total
uniformemente distribuída num volume esférico de raio
, e pede o potencial elétrico
para um ponto interno à esfera (
), adotando
.
Conteúdo: simetria esférica, Lei de Gauss para calcular o campo dentro e fora da esfera, e depois integração de
para obter
.
Conteúdo: simetria esférica, Lei de Gauss para calcular o campo
Passo 2
Primeiro usamos a Lei de Gauss para achar o campo elétrico. A densidade volumétrica é
e para
a carga envolvida é
Logo, aplicando
numa superfície esférica de raio
, obtemos
Para
temos o campo como se fosse carga puntiforme:
Passo 3
O potencial em
é
pois adotamos
. Como
, dividimos a integral em duas partes: uma de
até
(campo interno) e outra de
até
(campo externo), ou seja,
Passo 4
Calculamos cada uma:
- Integral interna
- Integral externa
Passo 5
Somando os dois termos,