13P (Desafio) - Uma carga q está uniformemente distribuída através de um volume esférico de raio R.
(a) Fazendo V=0 no infinito, mostre que o potencial a uma distância r do centro, onde r<R, é dado por
V=q(3 R^2-r^2)8 pi varepsilon0 R^3

Passo 1

O enunciado diz que temos uma carga total q uniformemente distribuída num volume esférico de raio R, e pede o potencial elétrico V(r) para um ponto interno à esfera ( r<R), adotando V(infty)=0.
Conteúdo: simetria esférica, Lei de Gauss para calcular o campo E(r) dentro e fora da esfera, e depois integração de E para obter V.

Passo 2

Primeiro usamos a Lei de Gauss para achar o campo elétrico. A densidade volumétrica é
rho = qtfrac43pi R^3,
e para r<R a carga envolvida é
qrm enc = rho ,tfrac43pi r^3 = q,r^3R^3
Logo, aplicando
oint Ecdot dA = qrm encvarepsilon0
numa superfície esférica de raio r, obtemos
E(r),4pi r^2 = q,r^3varepsilon0 R^3 Longrightarrow E(r) = q,r4pivarepsilon0,R^3(r<R)
Para r>R temos o campo como se fosse carga puntiforme:
E(r) = q4pivarepsilon0,r^2(r>R)

Passo 3

O potencial em r é
V(r)=integralr^infty E(r'),dr',
pois adotamos V(infty)=0. Como r<R, dividimos a integral em duas partes: uma de r até R (campo interno) e outra de R até infty (campo externo), ou seja,
V(r) =integralr^RErm int(r'),dr' ;+;integralR^inftyErm ext(r'),dr'

Passo 4

Calculamos cada uma:
  1. Integral interna
integralr^RErm int(r'),dr' =integralr^Rq,r'4pivarepsilon0,R^3,dr' =q4pivarepsilon0,R^3,R^2-r^22 =q,(R^2-r^2)8pivarepsilon0,R^3
  1. Integral externa
integralR^inftyErm ext(r'),dr' =integralR^inftyq4pivarepsilon0,r'^2,dr' =q4pivarepsilon0,1R

Passo 5

Somando os dois termos,
V(r) =q,(R^2-r^2)8pivarepsilon0,R^3 +q4pivarepsilon0,R =q8pivarepsilon0,R^3l(R^2-r^2+2R^2r) =q,(3R^2-r^2)8pivarepsilon0,R^3

Resposta

V(r)=q,(3R^2 - r^2)8pivarepsilon0,R^3, r<R

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