14.6 Determine a capacidade mínima de prensa para realizar as operações de recorte e puncionamento do Problema 14.3. A chapa de alumínio tem o limite de resistência a tração igual a 310 MPa , o coeficiente de resistência de 350 MPa e o expoente de encruamento de 0,12 . (a) Assuma que as operações de recorte e puncionamento sejam realizadas simultaneamente. (b) Assuma que os punções estejam defasados de modo que o puncionamento ocorra primeiro e, em seguida, seja realizado o recorte.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a capacidade mínima da prensa para executar as operações de recorte e puncionamento do Problema 14.3 em duas situações: (a) as operações são realizadas simultaneamente; (b) os punções estão defasados de modo que o puncionamento ocorra primeiro e depois o recorte.
Dados fornecidos neste enunciado:
  • Limite de resistência à tração da chapa de alumínio: \sigma_u=310\\ \mathrm{MPa}.
  • Coeficiente de resistência (constante de Hollomon): K=350\\ \mathrm{MPa}.
  • Expoente de encruamento: n=0{,}12.
Informações que faltam (constam no Problema 14.3 e são necessárias para cálculo numérico):
  • Espessura da chapa: t.
  • Perímetro total cortado no recorte: L_{\text{rec}} (comprimento da linha de corte).
  • Perímetro total cortado pelos punções (soma das circunferências ou contornos das furos): L_{\text{pun}}.
  • Número e disposição dos furos (se necessário para somar perímetros).
    Sem esses valores numéricos do Problema 14.3 não é possível obter um valor numérico final da capacidade da prensa. Vou, portanto, mostrar passo a passo a teoria, derivar as fórmulas exatas que permitem calcular a carga mínima nas duas situações e dar uma estimativa prática para a tensão de cisalhamento média com base nos parâmetros K e n. Quando você me passar t, L_{\text{rec}} e L_{\text{pun}} (ou o enunciado completo do Problema 14.3), eu calculo imediatamente os números finais para (a) e (b).

Passo 2

Conceito básico e fórmula fundamental (como se faz na prova).
  • Em operações de recorte/puncionamento o material é cortado por cisalhamento local ao longo do contorno. A força necessária é a tensão média de cisalhamento multiplicada pela área que está sendo cisalhada.
  • Área que está sendo cisalhada (para uma aresta de corte contínua) é a área lateral: perímetro do corte vezes a espessura da chapa.
    Portanto a expressão básica da força de cisalhamento é
F = \bar{\tau}\;A_{\text{shear}} = \bar{\tau}\;(L\;t),
onde:
  • \bar{\tau} é a tensão média de cisalhamento durante a operação (unidade: \mathrm{N/mm^2} = \mathrm{MPa});
  • L é o perímetro total cortado (unidade: \mathrm{mm});
  • t é a espessura da chapa (unidade: \mathrm{mm}).
    Observação prática: se houver várias peças cortadas simultaneamente, somam-se os perímetros (ou seja, L é a soma dos comprimentos de todas as linhas de corte).

Passo 3

Como estimar \bar{\tau} a partir de K e n (a parte de material/encruamento).
  • Para materiais que seguem a lei de Hollomon \sigma = K\,\varepsilon^n, a tensão de escoamento em modo triaxial pode ser relacionada à tensão de cisalhamento por critérios de escoamento (por exemplo, critério de von Mises).
  • Uma aproximação comum (engenharia) para a tensão média de cisalhamento durante uma operação de corte é usar a tensão média de escoamento convertida para cisalhamento pela relação von Mises: dividir por \sqrt{3}. Assim podemos escrever uma estimativa
\bar{\tau} \approx \dfrac{\sigma_{\text{flow, média}}}{\sqrt{3}}é
e tomar um valor médio da tensão verdadeira plástica representado por \sigma_{\text{flow, média}} = K\,\bar{\varepsilon}^{\,n}é, onde \bar{\varepsilon} é a deformação plástica equivalente média sofrida pelo material na zona de corte.
Portanto,
\boxed{\bar{\tau} \approx \dfrac{K\,\bar{\varepsilon}^{\,n}}{\sqrt{3}}.}
Explicando as variáveis:
  • K e n são dados do material (aqui K=350\\ \mathrm{MPa}, n=0{,}12).
  • \bar{\varepsilon} é uma estimativa da deformação plástica equivalente média na zona sheared. Em cortes/puncionamentos práticos costuma-se assumir um valor típico entre 0{,}4 e 0{,}7 dependendo do metal e do modo de fratura; um valor conservador e frequentemente usado é \bar{\varepsilon}\approx 0{,}5. Se houver um valor mais preciso no Problema 14.3, usar esse valor.

Passo 4

Cálculo numérico aproximado de \bar{\tau} usando uma escolha típica de deformação média (exemplo para a prova).
Se adotarmos \bar{\varepsilon}=0{,}5 (valor típico conservador), então:
\bar{\varepsilon}^{\,n} = (0{,}5)^{0{,}12} \approx 0{,}9202.
Logo
K\,\bar{\varepsilon}^{\,n} \approx 350\cdot 0{,}9202 \approx 322{,}07\\ \mathrm{MPa}.
Dividindo por \sqrt{3} para obter a componente de cisalhamento:
\bar{\tau}\approx \dfrac{322{,}07}{\sqrt{3}} \approx \dfrac{322{,}07}{1{,}732} \approx 186{,}0\\ \mathrm{MPa}.
Comentário prático e atalho usado por muitos engenheiros: outra aproximação frequente é assumir \bar{\tau}\approx 0{,}6\\ \sigma_u. Com \sigma_u=310\\ \mathrm{MPa} isso dá 0{,}6\cdot 310\approx 186\\ \mathrm{MPa} — o que coincide com a estimativa acima, mostrando que a escolha de \bar{\varepsilon}=0{,}5 e o uso de K,n produz um valor coerente com regras empíricas. Portanto, uma boa estimativa prática para \bar{\tau} aqui é \bar{\tau}\approx 186\\ \mathrm{MPa}. Use este valor se o Problema 14.3 não der outra indicação.

Passo 5

Força necessária quando recorte e puncionamento são simultâneos (situação (a)).
  • Perímetro total cortado simultaneamente: L_{\text{tot}} = L_{\text{pun}} + L_{\text{rec}}.
  • Área total sheared: A_{\text{tot}} = L_{\text{tot}}\,t.
    Portanto a força total exigida na prensa é
\boxed{F_{\text{sim}} = \bar{\tau}\,(L_{\text{pun}}+L_{\text{rec}})\,t.}
Explicando: se tudo acontece no mesmo golpe da prensa, as forças de cada contorno se somam porque a separação do material ocorre ao mesmo tempo. Use \bar{\tau} estimado no Passo 4 (por exemplo 186\\ \mathrm{MPa}) para obter um valor numérico quando L_{\text{pun}}, L_{\text{rec}} e t forem conhecidos.

Passo 6

Força necessária quando puncionamento e recorte são feitos em golpes separados (situação (b)).
  • O punço realiza primeiro o puncionamento: força exigida
F_{\text{pun}}=\bar{\tau}\,L_{\text{pun}}\,t.
  • Depois a operação de recorte: força exigida
F_{\text{rec}}=\bar{\tau}\,L_{\text{rec}}\,t.
  • A prensa precisa ter capacidade suficiente para executar cada operação isoladamente; logo a capacidade mínima requerida para a prensa é o maior dos dois valores (o pior caso de um só golpe):
\boxed{F_{\text{seq}}=\max\{F_{\text{pun}},\;F_{\text{rec}}\}=\bar{\tau}\;t\;\max\{L_{\text{pun}},\;L_{\text{rec}}\}.}
Comentário: isto normalmente reduz a capacidade necessária em comparação com a situação simultânea, porque não se somam perímetros.

Passo 7

Conversões práticas e unidade de capacidade da prensa (como apresentar na prova).
  • Se usar \bar{\tau} em \mathrm{MPa} (equivalente a \mathrm{N/mm^2}), L em \mathrm{mm} e t em \mathrm{mm}, então F sai diretamente em N: F\\ (\mathrm{N}) = \bar{\tau}\\ (\mathrm{N/mm^2})\times L\\ (\mathrm{mm})\times t\\ (\mathrm{mm}).
  • Para passar a kN: dividir por 1000.
  • Para converter kN em toneladas-força (tf ou t), usar 1\\ \text{tf}\approx 9{,}80665\\ \mathrm{kN}. Assim
F\\ (\mathrm{tf}) = \dfrac{F\\ (\mathrm{kN})}{9{,}80665}.
Dica prática para a prova: calcule F em kN e depois divida por 9{,}81 para obter a capacidade em toneladas redondeando de maneira razoável.

Passo 8

Resumo do procedimento que você deve aplicar com os dados do Problema 14.3 (passo a passo que pode copiar na prova):
  1. Ler do Problema 14.3: obter t, L_{\text{pun}} e L_{\text{rec}}.
  2. Calcular \bar{\tau} usando
\bar{\tau}\approx \dfrac{K\,\bar{\varepsilon}^{\,n}}{\sqrt{3}},
adotando \bar{\varepsilon}=0{,}5 se nada mais for dado (isso dá \bar{\tau}\approx 186\\ \mathrm{MPa} com os dados fornecidos). Alternativamente usar a regra empírica \bar{\tau}\approx 0{,}6\,\sigma_u.
3. Calcular F_{\text{sim}}=\bar{\tau}\,(L_{\text{pun}}+L_{\text{rec}})\,t.
4. Calcular F_{\text{pun}}=\bar{\tau}\,L_{\text{pun}}\,t e F_{\text{rec}}=\bar{\tau}\,L_{\text{rec}}\,t, então F_{\text{seq}}=\max\{F_{\text{pun}},F_{\text{rec}}\}.
5. Converter F para kN/toneladas se desejar.

Passo 9

Exemplo numérico ilustrativo (mostra como aplicar rapidamente): suponha hipoteticamente t=2{,}0\\ \mathrm{mm}, L_{\text{pun}}=400\\ \mathrm{mm} e L_{\text{rec}}=800\\ \mathrm{mm} — isto é só um exemplo para treinar o procedimento, NÃO é o seu problema real. Com \bar{\tau}\approx 186\\ \mathrm{MPa}:
  • F_{\text{sim}} = 186\cdot(400+800)\cdot 2 = 186\cdot 1200\cdot 2 = 186\cdot 2400 = 446400\\ \mathrm{N} \approx 446{,}4\\ \mathrm{kN} \approx 45{,}5\\ \text{tf}.
  • F_{\text{pun}} = 186\cdot 400\cdot 2 = 148800\\ \mathrm{N} \approx 148{,}8\\ \mathrm{kN} \approx 15{,}2\\ \text{tf}.
  • F_{\text{rec}} = 186\cdot 800\cdot 2 = 297600\\ \mathrm{N} \approx 297{,}6\\ \mathrm{kN} \approx 30{,}4\\ \text{tf}.
  • Então F_{\text{seq}}=\max\{148{,}8,\;297{,}6\}\\ \mathrm{kN}=297{,}6\\ \mathrm{kN}\approx 30{,}4\\ \text{tf}.
    Isto ilustra que (a) simultâneo pede muito mais capacidade do que (b) sequencial.

Resposta

(a) F_{\text{min}}^{(a)}=\bar{\tau}\;(L_{\text{pun}}+L_{\text{rec}})\;t, com \bar{\tau}\approx \dfrac{K\,\bar{\varepsilon}^{\,n}}{\sqrt{3}} (ex.: adotando \bar{\varepsilon}=0{,}5 e os dados K=350\\ \mathrm{MPa},\\ n=0{,}12 obtém-se \bar{\tau}\approx 186\\ \mathrm{MPa}).\n
(b) F_{\text{min}}^{(b)}=\max\{\bar{\tau}\;L_{\text{pun}}\;t,\\ \bar{\tau}\;L_{\text{rec}}\;t\} (usar o mesmo \bar{\tau} indicado acima).\n
Observação: não foi possível calcular valores numéricos finais porque faltam no enunciado os dados do Problema 14.3 — especificamente t, L_{\text{pun}} e L_{\text{rec}}.

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